Analytische Geometrie/ Matrizen/ Rechnen mit Matrizen/ Matrizenmultiplikation

Achtung! Um zwei Matrizen multiplizieren zu können, muss die Spaltenzahl der linken Matrix gleich der Zeilenzahl der rechten Matrix sein. Das Ergebnis hat die Zeilenzahl der linken Matrix und die Spaltenzahl der rechten Matrix. Im Allgemeinen ist das Produkt von Matrizen nicht kommutativ, d.h. $A\cdot B\neq B\cdot A$.

Bei der Berechnung des Produktes hilft das Falksche Schema. Dieses Schema soll anhand eines Beispiels erläutert werden. Gegeben sind die Matrizen

$A=\left({\begin{array}{cc}2&3\\1&-7\\-2&5\end{array}}\right)$ und $B=\left({\begin{array}{cc}-1&0\\2&-3\end{array}}\right)$.

Berechne $C=A\cdot B$.

Die Matrizen A und B werden folgendermaßen in eine Tabelle geschrieben (in der ursprünglichen Ausrichtung, also ohne Kippen oder Drehen):

'Falksches Schema'
		-1	0
		2	-3
2	3
1	-7
-2	5

Die Zeilen von A werden mit den Spalten von B multipliziert, wie beim Skalarprodukt von Vektoren.

'Falksches Schema'
		-1	0
		2	-3
2	3	${\begin{pmatrix}2\\3\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\2\\\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}2\\3\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\-3\\\end{pmatrix}}$
1	-7	${\begin{pmatrix}1\\-7\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\2\\\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}1\\-7\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\-3\\\end{pmatrix}}$
-2	5	${\begin{pmatrix}-2\\5\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\2\\\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}-2\\5\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\-3\\\end{pmatrix}}$

Ausrechnen der Skalarprodukte liefert:

'Falksches Schema'
		-1	0
		2	-3
2	3	4	-9
1	-7	-15	21
-2	5	12	-15

Damit ist

$C=\left({\begin{array}{cc}2&3\\1&-7\\-2&5\end{array}}\right)\cdot \left({\begin{array}{cc}-1&0\\2&-3\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}4&-9\\-15&21\\12&-15\end{array}}\right)$.

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