Collatzfolgen und Schachbrett: Bildung der Zahlen-Folgen
Zur Einführung sollen als Beispiele für die Unterschiedlichkeit einige Zahlenfolgen angegeben werden.
a) 1 4 2 1
b) 3 10 5 16 8 4 2 1
c) 5 16 8 4 2 1
d) 7 22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1
e) 27 82 41 124 62 31 94 47 142 71 214 107 322 161 484 242 121 364 182 91 274 137 412 206 103 310 155 466 233 700 350 175 526 263 790 395 1186 593 1780 890 445 1336 668 334 167 502 251 754 377 1132 566 283 850 425 1276 638 319 958 479 1438 719 2158 1079 3238 1619 4858 2429 7288 3644 1822 911 2734 1367 4102 2051 6154 3077 9232 4616 2308 1154 577 1732 866 433 1300 650 325 976 488 244 122 61 184 92 46 23 70 35 106 53 160 80 40 20 10 5 16 8 4 2 1
f) 85 256 128 64 32 16 8 4 2 1
Das Bildungsgesetz der Zahlenfolgen (CR: Collatz-Regeln)
Für jede Zahl der Folgen gilt:
- CR1: Ist die Zahl gerade, so wird sie durch zwei geteilt (Divisionsschritt D).
- CR2: Ist die Zahl ungerade, so wird sie mit drei multipliziert und dann noch eins addiert (Multiplikationsschritt M).
- CR3: Ist die Zahl eins, so ist die Folge vollständig.
Erste Beobachtungen
- Eine Zahlenfolge kann in einer anderen Folge als Teilfolge enthalten sein.
- Nach jedem Multiplikationsschritt (M) folgt mindestens ein Divisionsschritt (D).
- Die Anzahl der Divisionsschritte D folgt anscheinend keiner Gesetzmäßigkeit.
- Die größte Zahl einer Folge ist immer gerade.
- Die Länge einer Folge scheint keiner Gesetzmäßigkeit zu unterliegen.
- Es gibt Folgen, die nur zwei ungerade Zahlen enthalten, nämlich die Anfangszahl sowie die eins. Alle dazwischen liegenden geraden Zahlen sind Zweierpotenzen.
Erste Festlegungen:
- Eine ungerade Zahl, zu der es eine Zahlenfolge gibt, die bei 1 endet, soll Collatz-Zahl heißen.
- Der Hauptstrang ist die Gesamtheit aller Zweierpotenzen mit der Basiszahl 1.
- Die Zahl der M-Schritte einer Folge bis zum Erreichen der 1 wollen wir als Collatz-Distanz (CD) der Anfangszahl bezeichnen.
- Die Zahlen 1, 5 und 85 (Beispiele a, c und f) haben also die Distanz 1. Also:
- CD(1) = CD(5) = CD(85) = 1.
- Für die 3 (Beispiel b) gilt CD(3) = 2, für die 7 (Beispiel d) gilt CD(7) = 5 und für die 27 (Beispiel e) CD(27) = 41.