Collatzfolgen und Schachbrett: Definitionen

Zurück zu "Bildung der Zahlenfolgen" | Hoch zu "Inhaltsverzeichnis" | Vor zu "Zahlenfolgen in anderen Zahlensystemen"

3. Definitionen zu den Zahlenfolgen

3. Definitionen zu den Zahlenfolgen 3.1 Hauptstrang, Nebenstränge, Basis- und Einstiegszahlen 3.2 Die Spuren der Collatz-Folgen

3.1 Hauptstrang, Nebenstränge, Basis- und Einstiegszahlen

Um die Endzahl 1 und damit die Basiszahl des Hauptstranges zu erreichen, muss vorher durch einen M-Schritt eine der Zweierpotenzen des Hauptstranges erreicht werden. Die Ausgangszahl für diesen M-Schritt soll Einstiegszahl heißen. Für diese Zahl z muss also gelten: 3 · z + 1 = $2^{n}$, wobei n irgendeine natürliche Zahl sein kann.

Die Zahl (3 · z + 1) ergibt bei Division durch 3 den Rest 1. Sie muss also zur Restklasse R1 bzgl. der Division durch 3 gehören. Daher muss das Gleiche auch für $2^{n}$ gelten. Von den Zweierpotenzen 2, 4, 8, 16 usw. gehört aber nur jede zweite zu R1. Also können nur diese Zweierpotenzen durch einen M-Schritt erreicht werden. Die zugehörigen Einstiegszahlen sind daher 1, 5, 21, 85 usw. Hat man eine solche Einstiegszahl z_i, so erhält man die nächstgrößere als z_(i+1) = 4z_i + 1. Daher gibt es unendlich viele Einstiegszahlen in den Hauptstrang.

Da in den Zahlenfolgen jede ungerade Zahl über einen D-Schritt erreicht wird und prinzipiell jede ungerade Zahl wie die eins mit Zweierpotenzen multipliziert werden kann, gibt es zu jeder ungeraden Zahl z’ als Basiszahl einen Nebenstrang mit den Zahlen z’ · 2, z’ · 4, z’ · 8, z’ · 16 usw.

Die Frage ist nun, ob es auch zu diesen Nebensträngen Einstiegszahlen gibt. Für diese Zahlen muss dann ebenfalls 3z + 1 = z’ · $2^{n}$ gelten. Diese Beziehung ist für beliebiges z nur erfüllbar, wenn z’ nicht durch 3 teilbar ist.

Folgerungen:

• Zur Basiszahl 1 gibt es unendlich viele Einstiegszahlen, die mit einem M-Schritt und mehreren D-Schritten diese Basiszahl erreichen. Diese Einstiegszahlen z sind die einzigen Collatz-Zahlen mit CD(z) = 1.
• Eine durch 3 teilbare, ungerade Zahl kann nur als Startzahl einer Zahlenfolge, niemals aber als Zahl im Innern einer anderen Zahlenfolge auftreten.
• Alle Einstiegszahlen des Haupt- bzw. eines Seitenstranges haben dieselbe ungerade Zahl z’ als Folgezahl. Ist z’ eine Collatz-Zahl, so gilt dies auch für die zugehörigen Einstiegszahlen, die deshalb eine um eins größere Collatz-Distanz CD haben (siehe Beispiele b und c).

3.2 Die Spuren der Collatz-Folgen

Um etwas Übersicht in die Folge von M- und D-Schritten zu bekommen, kann man versuchen, diese graphisch darzustellen. Wegen der unterschiedlichen Längen der Folgen wird dann die 1 bei jeder Folge an anderer Stelle landen, was nicht besonders schön ist.

Beispiele:  1, 4, 2, 1                    → M, D, D
            3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1      → M, D, M, D, D, D, D

Wenn man die 1 erreichen möchte, sind Abschnitte mit mehreren D unbedingt notwendig. Denn eine M-D-Kombination führt von der Zahl z zu einer Zahl z’ > z. Erst eine Kombination mit mehreren D-Schritten nach einem M-Schritt führt zu einer Zahl z’ < z. Wenn also die 1 erreicht werden soll, muss das Verhältnis (Zahl der M-Schritte/Zahl der D-Schritte) deutlich unter 1 liegen.

Um die Folge der M- und D-Schritte möglichst übersichtlich darzustellen, geht man nun zweckmäßigerweise folgendermaßen vor:

1. Man liest die Buchstabenfolgen der M- und D-Schritte von hinten nach vorne.
2. Man stellt jeden der Schritte als kleinen Strich in der Ebene dar. Ein M-Schritt erfolgt in y-Richtung, ein D-Schritt in x-Richtung. Durch die Umkehrung beginnen dann alle Spuren im Ursprung (entspricht der 1) und enden irgendwo im 1. Quadranten, je nach Form und Länge der Schrittfolge.

Im Schaubild-Anhang wird die Spur der Zahl 27 sowie dann in einem Schaubild die Gesamtheit der Spuren aller ungeraden Zahlen z < 100000 dargestellt. Nähere Erläuterungen dort.