Grundlagen der Akustik: Tonsysteme

Grundlagen der Akustik

Einleitung - Physik - Obertöne + Fourier-Analyse - Tonsysteme - Lautstärke - Anhang

 

Pythagoräische Skala

Eine geordnete Reihe von Tönen, die zueinander in bestimmten Intervallverhältnissen stehen, nennt man Tonsystem (Skala, Temperatur). Das älteste Tonsystem ist die pythagoräische Skala (aufgestellt von Pythagoras um 500 v. Chr.). Er reihte zwölf Quinten (Frequenzverhältnis 3 : 2) über einem Grundton auf und erhielt dabei folgende Frequenzverhältnisse:

Tonname	Frequenzverhältnis zum Grundton (C₁)		Einige Frequenzverhältnisse
C¹	1/1	1
G¹	3/2	1,5 (= g/c)
C	2/1	2	d/c = 9/8    großer Ganzton
D	9/4 = (3/2)²	2,25
A	27/8 = (3/2)³	3,375
c	4/1	4	e/c = (9/8)²    zwei große Ganztöne
e	81/16 = (3/2)⁴	5,062 5
h	243/32 = (3/2)⁵	7,593 75
c¹	8/1	8	fis/c = (9/8)³    drei große Ganztöne
fis¹	729/64 = (3/2)⁶	11,390 625
c²	16/1	16	gis/c = (9/8)⁴    vier große Ganztöne
cis²	2187/128 = (3/2)⁷	17,085 937 5
gis²	6561/256 = (3/2)⁸	25,628 906 25
c³	32/1	32	ais/c = (9/8)⁵    fünf große Ganztöne
dis³	19683/512 = (3/2)⁹	38,443 359 38
ais³	59049/1024 = (3/2)¹⁰	57,665 039 06
c⁴	64/1	64
eis⁴	177147/2048 = (3/2)¹¹	86,497 558 59
his⁴	531441/4096 = (3/2)¹²	129,746 337 9	1,013 643 27    pythagor. Komma
c⁵	128/1	128

Reiht man die Quinten nun vom c⁵ aus abwärts an, so erhält man auch noch die Vertiefungen einiger Töne:

Tonname	Frequenzverhältnis zu c⁵		Einige Frequenzverhältnisse
c⁵	1/1	1	c/f = 4/3    Quart
f⁴	2/3	0,666 666 667
c⁴	1/2	0,5	c/b = 9/8    großer Ganzton
b³	4/9 = (2/3)²	0,444 444 444
es³	8/27 = (2/3)³	0,296 296 296
c³	1/4	0,25	c/as=(9/8)²    2 große Ganztöne
as²	16/81 = (2/3)⁴	0,197 530 864
des²	32/243 = (2/3)⁵	0,131 687 242
c²	1/18	0,125	c/ges = (9/8)³    3 große Ganztöne
ges¹	64/729 = (2/3)⁶	0,087 791 495
c¹	1/16	0,0625
ces¹	128/2187 = (2/3)⁷	0,058 527 663

Setzt man die oben erhaltenen Töne innerhalb einer Oktav in die übliche Reihenfolge, so erhält man folgende Tabelle:

Tonname	Frequenzverhältnis zum Grundton (c)		Einige Frequenzverhältnisse
c	1/1	1	Prim
cis	(3/2)⁷/2⁴	1,067 871 094
des	(2/3)⁵ · 2³	1,053 497 942
d	(3/2)²/2 = 9/8	1,125	großer Ganzton
dis	(3/2)⁹/2⁵	1,20135498
es	(2/3)³ · 2²	1,185 185 185
e	(3/2)⁴/2² = (9/8)²	1,265 625	zwei große Ganztöne
f	(2/3) · 2	1,333 333 333	Quart
fis	(3/2)⁶/2³ = (9/8)³	1,423 828 125	drei große Ganztöne
ges	(2/3)⁶ · 2⁴ = (8/9)³ · 2	1,404 663 923	minus drei große Ganztöne
g	3/2	1,5	Quint
gis	(3/2)⁸/2⁴ = (9/8)⁴	1,601 806 641	vier große Ganztöne
as	(2/3)⁴ · 2³ = (8/9)² · 2	1,580 246 914	minus zwei große Ganztöne
a	(3/2)³/2	1,687 5
ais	(3/2)¹⁰/2⁵ = (9/8)⁵	1,802 032 471	fünf große Ganztöne
b	(2/3)² · 2² = (8/9) · 2	1,777 777 778	minus großer Ganzton
h	(3/2)⁵/2²	1,898 437 5

Das Frequenzverhältnis von zwölf übereinander angeordneten Quinten (his⁴; (3/2)¹² = 129,746 337 9) entspricht nicht dem von sieben übereinander angeordneten Oktaven (c⁵; 2⁷ = 128). Zwischen den beiden Tönen his⁴ und c⁵ liegt ein Intervall vom Frequenzverhältnis (3/2)¹²/2⁷ = 1,013 643 265. Dieses Frequenzverhältnis wird pythagoräisches Komma genannt. Die Tatsache, dass his und c, aber auch cis und des, dis und es etc. nicht übereinstimmen, ist ein großer Nachteil dieses Tonsystems. Bei Verwendung dieses Tonsystems muss man vor allem beim Modulieren mit störenden Unreinheiten rechnen. Außerdem sind nur folgende Intervalle rein: großer Ganzton, Quart, Quint, kleine Septim und Oktav. Andere Intervalle sind nicht rein, so z. B. die große Terz, deren reines Frequenzverhältnis 5 : 4 = 1,25 ist, in der pythagoräischen Skala jedoch z. B. zwischen c und e (9/8)² = 1,265 625 beträgt; es kommen aber auch noch andere Frequenzverhältnisse für die große Terz vor.

Die chromatischen Halbtöne sind übrigens nicht pythagoräisch, sondern erst im Mittelalter hinzugefügt worden.

Reine Skala

Schon im letzten Jh. v. Ch. suchte man eine für unser Ohr angenehmer klingende Skala und erstellte die sog. reine (diatonische, harmonische, didymische) Skala, bei der man versuchte, so viele reine Intervalle wie möglich zu verwenden. Die Frequenzverhältnisse der reinen Skala sind in der folgenden Tabelle angegeben:

Tonname	Frequenzverhältnis zum Grundton (c)		Einige Frequenzverhältnisse
c	1/1	1
cis	25/24	1,041 666 667	kleiner Ganzton von h aus
des	16/15	1,066 666 667	diatonischer Halbton
d	9/8	1,125	großer Ganzton
dis	75/64	1,171 875	cis plus großer Ganzton
es	6/5	1,2	kleine Terz
e	5/4	1,25	große Terz
f	4/3	1,333 333 333	Quart
fis	45/32 = 5/4 · 9/8	1,406 25	e plus großer Ganzton
ges	36/25 = (6/5)²	1,44	zwei kleine Terzen
g	3/2	1,5	Quint
gis	25/16	1,562 5	zwei große Terzen
as	8/5 = 2/(6/5)	1,6	kleine Sext
a	5/3	1,666 666 667	große Sext
ais	125/72	1,736 111 111	gis plus kleiner Ganzton
b	9/5	1,8	Oktav minus kleiner Ganzton
h	15/8	1,875	große Septim

Diese Skala weist eine andere Schwierigkeit auf: Ganztonschritte haben keine einheitliche Größe, ihre Frequenzverhältnisse betragen 9/8 und 10/9 (bei der pythagoräischen Skala betragen sie immer 9/8). Dies erschwert das Modulieren ebenfalls. Das Frequenzverhältnis zwischen dem großen Ganzton (9/8) und dem kleinen Ganzton (10/9) beträgt 81/80 und wird syntonisches Komma genannt.

Mitteltönige Skala

Es gab zahlreiche Versuche, ein Tonsystem zu schaffen, das eine einwandfreie Modulation zulässt. Erwähnt sei noch die mitteltönige Skala (siehe Fig. 18), bei der man versuchte, so viele reine große Terzen wie möglich zu verwenden. Bei dieser Skala sind die Quinten zu klein, zudem sind drei große reine Terzen (6/5) kleiner als eine Oktav (sog. kleine Diesis; 2/(5/4)³ = 1,024).

Tonname	Frequenzverhältnis zum Grundton (c)
c	1/1	1
cis/des	535/512	1,044 921 875
d	161/144	1,118 055 5556
dis/es	128/107	1,196 261 682
e	5/4	1,25
f	107/80	1,337 5
fis/ges	805/576	1,397 569 444
g	160/107	1,495 327 103
gis/as	25/16	1,562 5
a	107/64	1,671 875
ais/b	161/90	1,788 888 889
h	200/107	1,869 158 879

Die reinen großen Terzen (Frequenzverhältnis 5 : 4) befinden sich zwischen den Tönen

• c und e,
• d und fis/ges,
• dis/es und g,
• e und gis/as,
• f und a,
• g und h,
• a und cis/des, sowie
• b und d.

Gleichschwebend temperierte (gleichstufige) Skala

Andreas Werckmeister (1645–1706) erstellte eine weitere Skala, bei der er versuchte, das pythagoräische Komma über die zwölf Quinten zu verteilen, in- dem er acht Quinten rein stimmte und die restlichen vier gleichmäßig verkleinerte. Das Modulieren im Quintenzirkel war nun möglich, allerdings wechselt der Charakter der Tonarten dabei von pythagoräisch zu mitteltönig.

Das heute verwendete Tonsystem wurde nicht von Werckmeister berechnet, wie häufig behauptet wird. Bei der in ihren Grundzügen schon früher angegebenen, aber erst anfangs 17. Jh. genau berechneten gleichschwebend temperierten Skala (gleichstufigen Skala), ist die Oktav in zwölf Halbtöne, die dasselbe Frequenzverhältnis aufweisen, eingeteilt. Der Wert dieses Frequenzverhältnisses fand man durch folgende mathematische Überlegung: Das Frequenzverhältnis einer reinen Oktav beträgt 2 : 1. Man suche nun ein Frequenzverhältnis, mit dem man eine Frequenz x zwölf mal multiplizieren kann, um zur Oktav der Frequenz zu gelangen (2 · x):

$x\cdot k^{12}=2\cdot x$

und somit:

$k={\sqrt[{12}]{2}}=1{,}059\,463\,094.$

Einige Beispiele: Die Töne d und gis/as sind sechs Halbtöne voneinander entfernt, ihr Frequenzverhältnis ist folglich:

$1:({\sqrt[{12}]{2}})^{6}=1:1{,}414\,213\,562.$

Der Abstand zwischen fis/ges und ais/b beträgt vier Halbtöne, für das Frequenzverhältnis gilt dementsprechend:

$1:({\sqrt[{12}]{2}})^{4}=1:1{,}259\,921\,05.$

Bei der gleichschwebend temperierten Skala sind alle Intervalle außer der Oktav (und alle Oktavierungen der Oktav) im Vergleich zu den reinen Intervallen verstimmt. Obwohl somit immer noch leichte Unreinheiten vorhanden sind – die unser Gehör aber nicht stören – bringt diese Skala den großen Vorteil mit, dass ein einwandfreies Modulieren möglich ist. Ein weiterer Vorteil dieser Skala macht sich auch bei den Tasteninstrumenten bemerkbar, wo der Musiker z. B. bei der pythagoräischen oder reinen Skala noch mit viel mehr Tasten umgehen musste, da bspw. cis und des nicht dieselben Töne waren. Die gleichschwebend temperierte Skala ist folglich ein einfacher und nützlicher Kompromiss. Sie ist aber nicht perfekt – unsere Schallverarbeitung (Ohr und Gehirn) jedoch auch nicht –, weshalb es immer noch Experimente mit 17-, 19-, 34-, 50 und 70-stufigen möglichst reinen Tonsystemen gibt. Selbst Arnold Schönberg (1874–1951, österreichischer Komponist, Musiktheoretiker und Maler) schrieb: «Man hätte nie vergessen dürfen, dass das temperierte System nur ein Waffenstillstand war, der nicht länger währen darf, als die Unvollkommenheit unserer Instrumente ihn nötig macht.» Die Teilung der Oktav in mehr als zwölf Intervalle erwies sich aber v. a. für die Tasteninstrumente als unpraktisch.

In der folgenden Tabelle sind die absoluten Frequenzen des gleichschwebend temperierten Tonsystems vom Normalton a¹ = 440 Hz aufgeführt:

Tonname	Frequenz
c¹	261,625 6
cis¹/des¹	277,182 6
d¹	293,664 8
dis¹/es¹	311,127 0
e¹	329,627 6
f¹	349,228 2
fis¹/ges¹	369,994 4
g¹	391,995 4
gis¹/as¹	415,304 7
a¹	440
ais/b	466,163 8
h¹	493,883 3
c²	523,251 1

Cent-System

Um die verschiedenen Tonsysteme zu vergleichen und um andere Tonsysteme zu messen, verwendete man das sog. Cent-System. Dabei wurde ein temperierter Halbton in hundert weitere Intervalle mit gleichem Frequenzverhältnis – sog. Cents – geteilt. Das Frequenzverhältnis eines Cents beträgt:

${\sqrt[{100}]{\sqrt[{12}]{2}}}={\sqrt[{1200}]{2}}=1{,}000\,577\,79.$

Um aus gegebenen Frequenzen das Frequenzverhältnis x in Cent zu berechnen benützt man folgende Formel:

$x={\frac {1200}{\lg(2)}}\cdot \lg \left({\frac {f}{f_{0}}}\right).$

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