Ing Mathematik: Absolutbetrag

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Der Absolutbetrag einer Zahl $x\in \mathbb {R}$ ist definiert als

$|x|={\begin{cases}x,\;{\mbox{falls}}\ x\geq 0\\-x,\;{\mbox{falls}}\ x<0\\\end{cases}}$

Das bedeutet, dass |x| immer größer oder gleich Null ist.

Der Absolutbetrag einer Zahl $z\in \mathbb {C}$ mit $z=a+jb\$ und $a,b\in \mathbb {R}$ ist

$|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\quad (|z|\in \mathbb {R} )$

Regeln

• $|x|=|-x|\$

• $|x-y|=|y-x|\$

• $|xy|=|x||y|\$

• Für $y\neq 0$ gilt: $\left|{\frac {x}{y}}\right|={\frac {|x|}{|y|}}$

• $|x|={\sqrt {x^{2}}}$

• Dreiecksungleichung: ${\begin{cases}|x+y|\leq |x|+|y|\\|x-y|\geq |x|-|y|\end{cases}}$

Übungen

• Bestimmen Sie alle $x\in \mathbb {R}$, für die $|x-5|<|x+2|$ gilt.
• Bestimmen Sie alle $x,y\in \mathbb {R}$, für die $|x+y|\leq 1$ gilt.

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