Ing Mathematik: Mehrfachintegrale

Doppelintegrale

Gegeben sei eine einfache Aufgabenstellung: Wir wollen die Fläche zwischen zwei Funktionen im Zweidimensionalen berechnen. Eine Möglichkeit ist, dazu Mehrfachintegrale (konkret Doppelintegrale) zu verwenden.

$x$ läuft von $a$ bis $b$ , $y$ von $f(x)$ bis $g(x)$ .

$A=\int _{x=a}^{b}\int _{y=f(x)}^{g(x)}\mathrm {d} x\mathrm {d} y$

Beispiel: Berechne folgendes Integral $A=\int _{x=1}^{2}\int _{y=0}^{x^{2}}\mathrm {d} x\mathrm {d} y$

Lösung: Als erstes müssen wir über y integrieren (hängt von x ab). Dann haben wir ein bekanntes (Einfach)Integral, das sich elementar auflösen lässt.

$A=\int _{x=1}^{2}\int _{y=0}^{x^{2}}\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\int _{x=1}^{2}y\ \mathrm {d} x|_{0}^{x^{2}}=\int _{1}^{2}x^{2}\mathrm {d} x={\frac {x^{3}}{3}}|_{1}^{2}={\frac {2^{3}-1^{3}}{3}}={\frac {7}{3}}$

Grafik zum Beispiel:

Übungen: Berechnen Sie folgende Integrale

$\int _{x=-1}^{2}\int _{y=0}^{3}(\sin x+y^{3})\mathrm {d} x\mathrm {d} y$
$\int _{x=0}^{3}\int _{y=-2x}^{x+1}xy\mathrm {d} x\mathrm {d} y$

In Anlehnung an die elementare Integralrechung $A=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x$ zur Flächenberechnung kann man auch Volumina mit Doppelintegralen berechnen $V=\int _{x=a}^{b}\int _{y=c}^{d}f(x,y)\mathrm {d} x\mathrm {d} y$ . Dabei ist es egal, ob man zuerst über x oder über y integriert ( Satz von Fubini).

Guido Fubini (1879-1943) italienischer Mathematiker

Beispiel: $f(x,y)=x^{2}-y+2;\;0\leq x\leq 1;\;0\leq y\leq 3$

$V=\int _{x=0}^{1}\int _{y=0}^{3}(x^{2}-y+2)\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\int _{0}^{3}\left[{\frac {x^{3}}{3}}-xy+2x)\right]_{0}^{1}\mathrm {d} y=\int _{0}^{3}\left({\frac {1}{3}}-y+2)\right)\mathrm {d} y=\left[{\frac {y}{3}}-{\frac {y^{2}}{2}}+2y)\right]_{0}^{3}\ ={\frac {5}{2}}$

Auch bei dieser Volumenberechnung kann man für die Integrationsgrenzen wieder Funktionen verwenden.

$V=\int _{x=a}^{b}\int _{y=g(x)}^{h(x)}f(x,y)\mathrm {d} x\mathrm {d} y$

Dreifachintegrale und höhere

Diese Prinzipien kann man natürlich auch im Höherdimensionalen ( $\mathbb {R} ^{n}$ ) verwenden. Dort ist es allerdings meist nicht mehr einfach visualisier- und vorstellbar.

Vereinfacht wird das Dreifachintegral (oder generell das Mehrfachintegral) oft auch mit nur einem Integralzeichen dargestellt.

$\int _{V}f(\mathbf {r} )\mathrm {d} V=\iiint f(\mathbf {r} )\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathrm {d} z$

Siehe auch Volumenintegral

Krummlinige Koordinaten

Krummlinige Koordinatensysteme haben wir schon in Ing Mathematik: Funktionen mehrerer Veränderlicher kurz kennen gelernt. Wir wollen sie hier inbesondere im Zusammenhang mit Integralen nochmals behandeln.

Transformationsformel in der Ebene

$\iint _{B}f(x,y)\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\iint _{B^{*}}f(g(u,v),h(u,v))\left|{\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\right|\mathrm {d} u\mathrm {d} v$

wobei ${\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}=\det {\begin{bmatrix}g_{u}&g_{v}\\h_{u}&h_{v}\end{bmatrix}}$ eine Funktionaldeterminate ist.

Siehe auch Transformationssatz und Funktionaldeterminante.

Polarkoordinaten

${\begin{matrix}x=\rho \cos(\phi )\\y=\rho \sin(\phi )\end{matrix}}$

${\begin{matrix}\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\phi =\mathrm {arctan} ({\frac {y}{x}})\end{matrix}}$

${\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}=\det {\begin{bmatrix}x_{\rho }&x_{\phi }\\y_{\rho }&y_{\phi }\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}\cos \phi &-\rho \sin \phi \\\sin \phi &\rho \cos \phi \end{bmatrix}}=\rho$

Beispiel: Flächeninhalt des Kreises

Der Flächeninhalt des Kreises lässt sich mit den bisher kennengelernten Methoden nur umständlich bestimmen. Mit einer Transformation in Polarkoordinaten ist das allerdings einfach erledigt:

$A=\iint _{B}\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\iint _{B^{*}}\left|{\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\right|\mathrm {d} u\mathrm {d} v$

$A=\int _{0}^{R}\int _{0}^{2\pi }\rho \mathrm {d} \rho \mathrm {d} \phi =\int _{0}^{2\pi }{\frac {\rho ^{2}}{2}}|_{0}^{R}\mathrm {d} \phi =\int _{0}^{2\pi }{\frac {R^{2}}{2}}\mathrm {d} \phi ={\frac {R^{2}}{2}}\phi |_{0}^{2\pi }=R^{2}\pi$

Die Plausibilität dieser Formel lässt sich übrigens auch elementargeometrisch sehr einfach nachweisen, siehe z.B. nachfolgendes Bild (der Einfachheit halber als Handskizze gezeichnet), welches wieder auf dasselbe Integral führt.

Elliptische Koordinaten

${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c\cdot \cosh u\cdot \cos \psi \\c\cdot \sinh u\cdot \sin \psi \end{bmatrix}}\quad$ mit $u,\psi \dots$ elliptische Koordinaten; c = konst.

Siehe auch Elliptische Koordinaten

Parabolische Koordinaten

${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mu \nu \\{\frac {1}{2}}(\nu ^{2}-\mu ^{2})\end{bmatrix}}\quad$

Siehe auch Parabolische Koordinaten

Transformationsformel im $\mathbb {R} ^{n}$

$\int _{B}f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} x_{2}\dots \mathrm {d} x_{n}=\int _{B^{*}}f(\mathbf {T} (u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}))\left|{\frac {\partial (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}{\partial (u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})}}\right|\mathrm {d} u_{1}\mathrm {d} u_{2}\dots \mathrm {d} u_{n}$

wobei $\quad \mathbf {T} (u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})={\begin{bmatrix}g_{1}(u_{1},u_{2},\dots u_{n})\\g_{2}(u_{1},u_{2},\dots u_{n})\\\vdots \\g_{n}(u_{1},u_{2},\dots u_{n})\\\end{bmatrix}}$

${\frac {\partial (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}{\partial (u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})}}=\det {\begin{bmatrix}{\frac {\partial g_{1}}{\partial u_{1}}}&\dots &{\frac {\partial g_{1}}{\partial u_{n}}}\\\vdots &&\vdots \\{\frac {\partial g_{n}}{\partial u_{1}}}&\dots &{\frac {\partial g_{n}}{\partial u_{n}}}\\\end{bmatrix}}$

Zylinderkoordinaten

${\begin{matrix}x&=&\rho \cos(\phi )\\y&=&\rho \sin(\phi )\\z&=&z\end{matrix}}$

${\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\phi ,z)}}=\det {\begin{bmatrix}{\frac {\partial x}{\partial \rho }}&{\frac {\partial x}{\partial \phi }}&{\frac {\partial x}{\partial z}}\\{\frac {\partial y}{\partial \rho }}&{\frac {\partial y}{\partial \phi }}&{\frac {\partial y}{\partial z}}\\{\frac {\partial z}{\partial \rho }}&{\frac {\partial z}{\partial \phi }}&{\frac {\partial z}{\partial z}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\rho \sin \phi &0\\\sin \phi &\rho \cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}=\rho$

$\iiint _{B}f(x,y,z)\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathrm {d} z=\int _{z_{1}}^{z_{2}}\int _{\phi _{1}}^{\phi _{2}}\int _{\rho _{1}}^{\rho _{2}}f(\rho \cos \phi ,\rho \sin \phi ,z)\rho \mathrm {d} \rho \mathrm {d} \phi \mathrm {d} z$

Beispiel: Wir wollen hier das Volumen eines Zylinders nachrechnen. Natürlich lässt sich das auch einfach mit Volumen = Grundfläche * Höhe berechnen. Aber dann ginge ja der ganze Witz der Integralrechnung verloren.

$\int _{0}^{R}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{h}\rho \mathrm {d} \rho \mathrm {d} \phi \mathrm {d} z=\iint {\frac {\rho ^{2}}{2}}\mathrm {d} \phi \mathrm {d} z|_{0}^{R}=\iint {\frac {R^{2}}{2}}\mathrm {d} \phi \mathrm {d} z=\int {\frac {R^{2}}{2}}\phi \mathrm {d} z|_{0}^{2\pi }=\int R^{2}\pi \mathrm {d} z=R^{2}\pi z|_{0}^{h}=R^{2}\pi h$

Kugelkoordinaten

${\begin{array}{cll}x&=&\rho \cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi \\y&=&\rho \cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi \\z&=&\rho \cdot \cos \theta \end{array}}$

Siehe auch Kugelkoordinaten#Umrechnungen.

Übungen:

Berechnen Sie die Funktionaldeterminante für die Kugelkoordinaten.
Berechnen Sie damit das Volumen einer Kugel.

Toruskoordinaten

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=R\cdot {\begin{pmatrix}\cos(t)\\\sin(t)\\0\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}\cos(t)\cdot \cos(p)\\\sin(t)\cdot \cos(p)\\\sin(p)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(R+r\cdot \cos(p))\cos(t)\\(R+r\cdot \cos(p))\sin(t)\\r\cdot \sin(p)\end{pmatrix}}$