MathGymOS/ Analysis/ Differentialrechnung/ Kettenregel

Bisher haben wir gelernt, wie man mit Funktionen umgeht, die mit anderen Funktionen addiert, multipliziert oder durch sie dividiert wurden. Man kann eine Funktion aber auch auf eine andere Funktion anwenden, dann spricht man von Verkettung. Dafür gibt es zwei Schreibweisen: $f(x)=u(v(x))$ oder $f(x)=u(x)\circ v(x)$. In der Schule benutzt man meist die erste, deswegen werden wir das hier auch tun.

Beispiel:

• ${\sqrt[{4}]{x^{2}-3x+4}}$

• ${\frac {1}{(x+3)^{2}}}$

• $e^{2-x}\,\!$

 

Anhand der Beispiele erkennt man, dass sich die Kettenregel, anders als zum Beispiel die Produktregel durch Ausmultiplizieren, nicht immer so einfach auf bereits bekannte Probleme zurückführen lässt. Das wäre nur in bestimmten Fällen relativ einfach zu bewerkstelligen, wie hier im zweiten Beispiel, jedoch führt es - ähnlich wie bei der Produktregel - ebenfalls häufiger zu schwierigeren Gleichungen als die Ausgangsgleichungen.

Wie schon bei den meisten anderen Ableitungsregeln werden wir uns daher wieder des Differentialquotienten bedienen, um eine einfache Regel zu finden, die man dann nur noch auswendig lernen braucht. Wir setzen also wieder ein:

$f'(x)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {u(v(x+\epsilon ))-u(v(x))}{\epsilon }}$

Wie auch schon bei der Produktregel sieht man hier nichts was einem weiterhelfen würde. Wieder wenden wir einen mathematischen Trick an. Wir multiplizieren mit 1.

$f'(x)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {u(v(x+\epsilon ))-u(v(x))}{\epsilon }}\cdot \overbrace {\left({\frac {v(x+\epsilon )-v(x)}{v(x+\epsilon )-v(x)}}\right)} ^{=1}$

$f'(x)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {u(v(x+\epsilon ))-u(v(x))}{v(x+\epsilon )-v(x)}}\cdot \underbrace {\left({\frac {v(x+\epsilon )-v(x)}{\epsilon }}\right)} _{v'(x)}$

Das $v'(x)$ können wir nach vorne ziehen. Außerdem sehen wir, dass im Nenner des Bruchs $v(x+\epsilon )-v(x)$ steht, was ja (genau wie $\epsilon$) gegen 0 strebt. Deswegen können wir abkürzend ${\bar {\epsilon }}$ schreiben und so unseren Limes-Ausdruck weiter vereinfachen.

$f'(x)=v'(x)\cdot \lim _{{\bar {\epsilon }}\rightarrow 0}\underbrace {\frac {u(v(x+{\bar {\epsilon }}))-u(v(x))}{\bar {\epsilon }}} _{u(v(x))'}$

Durch diese Vereinfachung sehen wir sofort

$f'(x)=v'(x)\cdot u'(v(x))$

Und das ist auch schon die Kettenregel.

Kettenregel

$f(x)=u(v(x))\quad \Rightarrow \quad f'(x)=v'(x)\cdot u'(v(x))$

 

Beispiel:

$f(x)={\sqrt {x^{2}+4x}}$

$\Rightarrow \quad u(z)={\sqrt {z}}\quad \wedge \quad z=v(x)=x^{2}+4x$

$\Rightarrow \quad f'(x)=(2x+4)\cdot {\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}+4x}}}}$

Hinweis: Die hier in Zeile 2 verwendete Schreibweise hilft fehlerhafte Bildung der Ableitung zu vermeiden, da Manche dazu neigen zu vergessen, dass die innere Funktion natürlich weiterhin in der äußeren Ableitung enthalten sein muss.

 

Hoch zum "Differentialrechnung" | Vor zu "Ableitung der Umkehrfunktion"