MathGymOS/ Analysis/ Differentialrechnung/ Quotientenregel

Im letzten Abschnitt haben wir gelernt wie wir Funktionen ableiten, die aus dem Produkt zweier anderer Funktionen bestehen. Ein sehr ähnliches Problem ist das Ableiten von Funktionen, die aus dem Quotienten zweier Funktionen gebildet werden, also die Form $f(x)={\frac {u(x)}{v(x)}}$ haben.

Weil die beiden Probleme so ähnlich sind, kann man aus der bereits bekannten Produktregel leicht die Quotientenregel herleiten.

$f(x)={\frac {u(x)}{v(x)}}$

Durch Umformen kommen wir auf eine Gleichung, die wir mit der Produktregel ableiten können:

$\Leftrightarrow u(x)=f(x)\cdot v(x)$

$u'(x)=f'(x)\cdot v(x)+v'(x)\cdot f(x)$

Jetzt können wir ganz einfach nach $f'(x)$ umstellen und vereinfachen und haben die Quotientenregel gefunden:

${\frac {u'(x)-v'(x)\cdot f(x)}{v(x)}}=f'(x)$

Einsetzen für $f(x)$

$f'(x)={\frac {u'(x)-v'(x)\cdot {\frac {u(x)}{v(x)}}}{v(x)}}$

Erweitern

$f'(x)={\frac {{\frac {u'(x)\cdot v(x)}{v(x)}}-v'(x)\cdot {\frac {u(x)}{v(x)}}}{v(x)}}$

Vereinfachen

$f'(x)={\frac {u'(x)\cdot v(x)-v'(x)\cdot u(x)}{(v(x))^{2}}}$

Quotientenregel

$f(x)={\frac {u(x)}{v(x)}}\quad \Rightarrow \quad f'(x)={\frac {u'(x)\cdot v(x)-v'(x)\cdot u(x)}{(v(x))^{2}}}$

 

Beispiel:

$f(x)={\frac {x+1}{2-x}}$

$\Rightarrow \quad u(x)=(x+1)\quad \wedge \quad v(x)=(2-x)$

$\Rightarrow \quad f'(x)={\frac {1\cdot (2-x)-(x+1)\cdot (-1)}{(2-x)^{2}}}={\frac {2-x+x+1}{(2-x)^{2}}}={\frac {3}{(2-x)^{2}}}$

 

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