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Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Der Satz von Liouville – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Wo stehen wir

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Wir hatten die Transportgleichung betrachtet und danach die Fundamentallösung der Laplacegleichung hergeleitet. Mit dieser konnten wir im Ganzraum die Lösung der Poissongleichung beweisen. Dann hatten wir die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen gezeigt und das Maximumprinzip harmonischer Funktionen eingeführt. Wir hatten dann die Harnacksche Ungleichung hergeleitet und bewiesen, dass harmonische Funktionen unendlich oft differenzierbar sind.

Wir beweisen nun Schranken für die Ableitungen harmonischer Funktionen und zeigen damit den Satz von Liouville, dass auf dem ganzen definierte harmonische Funktionen automatisch konstant sind.

Diesen Satz von Liouville gibt es auch in der Funktionentheorie für holomorphe Funktionen.

Abschätzung der Ableitungen einer harmonischen Funktion

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Satz

Sei offen und beschränkt. Ist harmonisch, so gilt

für jede Kugel mit und jeden Multiindex der Ordnung , d.h. es liegt insgesamt eine -fache Ableitung vor, aber ggf. nach verschiedenen Variablen.

Die Konstanten sind gegeben durch

mit und es bezeichnet

Beweis

Wir verwenden Induktion über . Dabei wenden wir den Mittelwertsatz in jedem Schritt auf immer kleinere Kugeln an.

:

k=0: Mit dem Mittelwertsatz gilt

k=1: Wegen gilt für ein . Wegen

ist harmonisch. Mit dem Mittelwertsatz und der partiellen Integration mit dem konstanten Vektorfeld

gemäß Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/_Der_Satz_von_Stokes

folgt, da die Ableitung des konstanten Vektorfeldes Null ist

Für jedes gilt

und somit

Wie im Fall gilt, da der Integrationsbereich sich vergrößert

Das ergibt durch Einsetzen in den Fall wegen

Induktionsschritt für : Die Ausage gelte für Multiindizes der Ordnung kleiner gleich .

Sei ein Multiindex mit . Dann gibt es einen Multiindex der Ordnung und ein sodass gilt

und ist harmonisch wegen

Analog zur Rechnung für erhalten wir wieder mit der Mittelwertformel und partieller Integration mit dem konstanten Vektorfeld

gemäß Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/_Der_Satz_von_Stokes

Für alle gilt

und somit


Da folgt mit der Induktionsvorraussetzung für

Damit lässt sich der Fall fortsetzen zu

Mit lässt sich der Vorfaktor abschätzen gemäß

Der Satz von Liouville

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Satz (Liouville)

Jede beschränkte harmonische Funktion ist konstant.

Beweis (Liouville)

Sei . Wir wenden den vorherigen Satz an mit und erhalten

Damit folgt und somit ist konstant.

Eindeutigkeit beschränkter Lösungen der Poissongleichung

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Satz

Sei und . Dann hat jede beschränkte Lösung der Poissongleichung

die Form

mit einer Konstanten .

Gilt so ist die Lösung der Poissongleichung eindeutig gegeben durch

Die Existenz der Lösung haben wir schon gezeigt im Kapitel Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Die_Poissongleichung_im_Ganzraum

Beweis

Wähle so groß, das . Für ein aus gilt und da die Fundamentallösung in ist, wie wir gezeigt haben in Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Die_Fundamentallösung_der_Laplacegleichung#Eigenschaften_der_Fundamentallösung gilt für

Damit ist beschränkt und ist ebenfalls beschränkt. ist harmonisch in , wegen . Nach dem Satz von Liouville ist damit konstant.

Für und gilt

Damit folgt

Jede weitere Lösung der Poissongleichung hat notwendig die Gestalt . Wegen folgt aber .