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Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Die Wärmekugel – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Wo stehen wir

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Wir hatten die Transportgleichnung betrachtet und daraufhin die Eigenschaften der Laplace-Gleichung und der Poisson-Gleichung untersucht. Nun gehen wir zur Wärmeleitungsgleichung über, sie lautet

Sie heißt homogen für , sonst inhomogen.

Wir können eine Anfangswärmeverteilung zum Zeitpunkt und Wärmequellen und -senken vorgeben und die Gleichung sagt uns, wie sich die Wärmeverteilung in Raum und Zeit entwickelt. Die Lösung für den Ganzraumfall haben wir schon betrachtet. Nun führen wir die Wärmekugel ein.

Die Wärmekugel (engl. heat ball)

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Wir benötigen einige Begriffe.

Definition

Sei und offen und beschränkt.

  1. Der parabolische Zylinder ist . Er beschreibt im Zeitraum bis . Sein Rand ist
    To-Do:

    Bild einfügen inklusive Rand

  2. Eine klassische Lösung der Wärmeleitungsgleichung im parabolischen Zylinder heißt kalorische Funktion.
  3. Der parabolische Rand ist eine Teilmenge des Randes von , wobei der Zeitpunkt weggelassen wird:
  4. Sei und . Dann ist die Wärmekugel (englisch heat ball) definiert als
    To-Do:

    Bild einfügen Wärmekugel

Eigenschaften der Wärmekugel

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Wir tragen einige Eigenschaften der Wärmekugel zusammen.

Satz

  1. Die Wärmekugel ist beschränkt.
  2. Für alle und gilt
  3. Für alle und gibt es einen kleinen Radius sodass
  4. Für alle und gilt

Beweis

1.):

Da die Exponentialfunktion streng monoton wachsend ist und gegen Unendlich geht, fällt die Exponentialfunktion bei negativer werdendem Argument streng monoton und geht gegen Null.

2.):

Nach Definition der Wärmekugel gilt

Wegen folgt

3.):

Sei . Wegen 2.) und durch Logarithmieren gilt

Multiplizieren mit ergibt

Die erste Ableitung der rechten Seite nach ist mit der Kettenregel

Das ist monoton fallend in , ist größer Null für (da der erste Term Null wird) und wird negativ für von unten gegen . Das Maximum wird angenommen für

Daher gilt

Da offen ist, gibt es ein mit . Wähle nun gemäß der letzten Gleichung klein genug, dann gilt . Wähle zudem so klein, dass , dann gilt

4.):

Mit der Transformation

gilt

Mit 2.) und 3.) gilt

Setze

dann gilt mit dem Satz von Fubini

In Polarkoordinaten berechnet sich das innere Integral zu

Damit berechnet sich das gesamte Integral mit den Substitution und und und zu

Mit den weiteren Substitutionen und und und folgt

wobei verwendet wurde siehe Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Die_Gammafunktion