Trigonometrie

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Theorie in Kürze (mit Geogebra)

• Oft muss man ein rechtwinkeliges Dreieck finden oder konstruieren.
• Ist ein Winkel gefragt, dann muss man $arcsind\ arccosd\ arctand$ benutzen (wenn der Wert des Winkels gefragt wird). Wenn die Formel gefragt wird, dann $arcsin\ arccos\ arctan$ (ohne "d").

• Ist der Winkel gegeben, dann kann man sin(Winkel in Grad) usw. berechnen.

• Gibt es keinen Zusammenhang zum Winkel, muss man möglicherweise Pythagoras Satz benutzen.

$\sin \theta ={\frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}}\$

$\ \cos \theta ={\frac {\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}}\$

$\ \tan \theta ={\frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}}\$

wobei $\theta$ irgendein nicht rechter Winkel in einem Rechtwinkeligen Dreieck.

Für ein rechtwinkeliges Dreieck mit Seiten a, b (Katheten), c (Hypotenuse) und entsprechenden gegenüberliegenden Winkel $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$

$\textstyle \sin \beta ={\frac {b}{c}}(=\cos \alpha )\$

$\textstyle \cos \beta ={\frac {a}{c}}(=\sin \alpha )$

$\tan \beta ={\frac {\text{b}}{\text{a}}}$

$\tan \alpha ={\frac {\text{a}}{\text{b}}}$

da gegenüber von $\beta$ die Kathete b ist (und gegenüber von $\alpha$ die Kathete a).

Für tan gilt auch:
$\tan \alpha {\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}$

da
$\tan \alpha ={\frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}}\ ={\frac {a}{b}}={\frac {c\ \sin \alpha }{c\ \cos \alpha }}={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}$

(Vergleiche mit dargestellten rechtwinkeligen Dreieck)

Trigonometrische Umkehrfunktionen:

$\arcsin ,\ \arccos \$bzw. $\ \arctan \$
oder $\sin ^{-1},\ \cos ^{-1}\$bzw. $\ \tan ^{-1}\$ (besonders bei Taschenrechnern)

Die Anwendung ist bei jeder Aufgabe unterschiedlich. Wenn der Winkel gefragt wird, dann benutzen wir arctand (oder atand), arcsind (oder asind) und arccosd (oder acosd).

Textaufgaben Schlussbegriff für trigonometrische Funktionen: Wiederholung! (wie so wie so...)

Sinussatz:

${\frac {\sin \alpha }{a}}={\frac {\sin \beta }{b}}={\frac {\sin \gamma }{c}}$

Kosinussatz:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\,a\,b\,\cos \gamma \qquad$ (usw.)

Kosinussatz wird angewandt, wenn es um einen Winkel und die Seiten an diesem Winkel oder wenn es um drei Seiten (gefragt wird dann ein Winkel) geht, Sinussatz in jedem anderen Fall.

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Trigonometrische Umkehrfunktionen

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Sinus und Kosinussatz

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