MathemaTriX ⋅ Theorie nach Thema. Exponential und Logarithmus Funktion

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AUFGABEN

KAPITEL Grundrechenarten Bruchrechnungen $-{\tfrac {\cdot \ +}{\ :\ }}$ Schlussrechnung Prozentrechnung Wachstum⋅Abnahme Arbeiten mit Termen $\mathbb {X} ^{2}$ Zahlendarstellungen Zahlenmengen ${\begin{matrix}\mathbb {R} :=\\\mathbb {Q} \cup \mathbb {I} \end{matrix}}$ Einheiten $cm^{2}$ Durchschnitt Median⋅Modus Geometrische Konstruktionen Geometrie der Ebene Geometrie des Raums Diagramme Funktionen $f(x)$ Lineare Gleichungssysteme ${\begin{smallmatrix}{a_{1}\ b_{2}}\\{a_{2}\ b_{2}}\end{smallmatrix}}$ Beweise $a\rightarrow b$

Wachstums- und Abnahmeprozesse

Wachstum

Bevölkerungswachstum

• China hatte im Jahr 1966 eine Bevölkerungsgröße von circa 750 Millionen Menschen. Das jährliche Wachstum lag bei circa 2,5%. Wie groß wäre die Bevölkerung im Jahr 2016, wenn das Wachstum gleich geblieben wäre? Was wären die Ergebnisse eines solchen Wachstums?

Zwischen 1966 und 2016 liegen 50 Jahre. Berechnen wir Schritt für Schritt die Bevölkerung für die ersten drei Jahre mit Hilfe der Schlussrechnung (direkte Proportionalität):

Der Anfangswert (Jahr 1966) ist 750 Millionen (100%). In einem Jahr ist die Bevölkerung um 2,5% gewachsen, also im Jahr 1967 wäre die Bevölkerung 102,5%:

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\102,5\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{750 Millionen}}\\{}\\x_{1}\end{matrix}}$$\qquad \qquad {\begin{matrix}\qquad \left(750\cdot {\frac {102{,}5}{100}}=750\cdot 1{,}025=768{,}75\right)\qquad {\text{also }}\qquad x_{1}=768{,}75\ {\text{Millionen}}\\{\text{man kann daher schreiben:}}\qquad \qquad x_{1}=750\cdot 1{,}025^{1}{\text{Millionen}}\end{matrix}}$

Für das nächste Jahr 1967 ist von diesem Wert auszugehen, um die Bevölkerung 1968 zu berechnen. Die Bevölkerung wäre 2,5% gewachsen im Vergleich zum 1967 (und nicht 1966). Die Bevölkerung im Jahr 1967 (768,75 Millionen) ist daher der neue Anfangswert (100%):

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\102,5\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{768,75 Millionen}}\\{}\\x_{2}\end{matrix}}$$\qquad \qquad {\begin{matrix}\left(768{,}75\cdot {\frac {102{,}5}{100}}=768{,}75\cdot 1{,}025=787{,}96875\right)\ \ {\text{also }}\ \ x_{2}\approx 787{,}97\ {\text{Millionen}}\\{\text{aber, wie wir forher gesehen haben }}\qquad 768{,}75=750\cdot 1{,}025\qquad {\text{und daher }}\\787{,}97=768{,}75\cdot 1{,}025=\overbrace {750\cdot 1{,}025} ^{(=768{,}75)}\cdot 1{,}025=750\cdot 1{,}025^{2}\ \ {\text{also }}\\x_{2}=750\cdot 1{,}025^{2}\ {\text{Millionen}}\end{matrix}}$

Für das dritte Jahr geht man ähnlich vor:

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\102,5\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{787,97 Millionen}}\\{}\\x_{3}\end{matrix}}$$\qquad \qquad {\begin{matrix}787,97\cdot {\frac {102{,}5}{100}}=787{,}97\cdot 1,025\approx 807{,}67\qquad {\text{also }}\qquad x_{3}\approx 807{,}67\ \ {\text{Millionen}}\\{\text{aber, wie wir forher gesehen haben }}\qquad 787{,}97=750\cdot 1{,}025^{2}\qquad {\text{und daher }}\\{\text{und daher }}807{,}67\cdot 1{,}025=\overbrace {750\cdot 1{,}025^{2}} ^{(=787{,}97)}\cdot 1{,}025=750\cdot 1{,}025^{3}\ \ {\text{also }}\\x_{3}=750\cdot 1{,}025^{3}\ {\text{Millionen}}\end{matrix}}$

Wenn man das Ergebnis nach 50 Jahren berechnen will, müsste man mit der Strategie die gleiche Rechnung insgesamt 50 mal durchführen! Es gibt aber einen schnelleren Weg, die Aufgabe mit Hilfe eines Taschenrechners zu lösen. Betrachten wir unsere Ergebnisse (man muss immer mit der entsprechende schon gemachte Schlussrechnung vergleichen):

$x_{1}=750\cdot 1{,}025^{1}{\text{ Millionen}}\qquad (=768{,}75\ {\text{Millionen}})$

$x_{2}=750\cdot 1{,}025^{2}{\text{ Millionen}}\qquad (\approx 787{,}97\ {\text{Millionen}})$

$x_{3}=750\cdot 1{,}025^{3}{\text{ Millionen}}\qquad (\approx 807{,}67\ {\text{Millionen}})$

Jedes Jahr multiplizieren wir einmal weiter mit $\ 1{,}025$, jedes Jahr wird die Hochzahl um 1 größer! Das erste Jahr ist die Hochzahl von $\ 1{,}025\$ 1, das zweite Jahr 2, das dritte Jahr 3 und so weiter. Man kann sofort erkennen, dass die Hochzahl von $\ 1{,}025\$ nach 50 Jahren 50 sein wird und daher:

$x_{50}=750\cdot 1{,}025^{50}{\text{ Millionen}}\approx 2577{,}83\ {\text{ Millionen}}$.
So groß wäre die Bevölkerung Chinas nach 50 Jahren!

Hier ist die Periode (also die Zeit in der die Bevölkerung um 2,5% wächst) ein Jahr. In anderen Aufgaben kann sie etwas anderes sein (Woche, Monat, Tag, Stunde und so weiter). Wenn der Anfangswert A ist, der Wert am Ende E, der Prozentsatz des Wachstums P und die Anzahl der Perioden n (wie viele Perioden wir haben), dann kann man folgende Formel schreiben:

$E=A\cdot (1+P:100)^{n}$

Man kann schon sehen, dass die Bevölkerung Chinas sehr groß gewesen wäre, wenn das Wachstum so hoch geblieben wäre. Die Wirtschaft Chinas war schon 1966 geplant und die zuständigen Personen haben damals schon festgestellt, dass die Wirtschaft ein solches Wachstum der Bevölkerung nicht würde verkraften können. Die Leute würden an Hunger sterben oder man würde Kriege führen müssen, um die Bevölkerung zu verringern oder neue Ressourcen zu erschließen. Deshalb haben die Zuständigen die „ein-Kind-Politik“ eingeführt, die das Wachstum der Bevölkerung ohne Hungertod oder größere Kriege in gewissen Grenzen gehalten hat. Die Bevölkerung ist doch gewachsen, aber nicht so viel.

Ein kleiner (oder doch sehr großer?) Kommentar:
Manche könnten sagen, dass die Verdoppelung nach 50 Jahren nicht so viel ist. Wenn jemand dieser Meinung ist, sollte er die Bevölkerung nach 1000 Jahren berechnen (also, die Hochzahl sollte 1000 und nicht mehr 50 sein) und versuchen, sich vom Ergebnis nicht schockieren zu lassen ... Hier ist die Berechnung für 500 Jahre:

$x_{500}=750\cdot 1{,}025^{500}{\text{ Millionen}}\approx 173\ {\text{Millionen von Millionen, }}$also Trillionen!

Allerdings könnte man die Haltung von der Bevölkerung in ärmeren Staaten psychologisch gesehen schon verstehen: Sie haben keine Kenntnisse und glauben, dass mehrere Kinder eine bessere Zukunft gewährleisten, beziehungsweise die Versorgung im Alter besser sicherstellen. Oft spielt dabei die Religion eine dazu verstärkende Rolle.

Was ist aber mit den Wirtschaftswissenschaftlern? Die notwendigen Mathematikkenntnisse haben diese Personen mit Sicherheit. Dummheit nach dem berühmten Spruch von Einstein mag man ihnen grundsätzlich nicht gleich unterstellen wollen. Trotzdem behaupten sie, dass ein unendliches wirtschaftliches Wachstum (was mit Sicherheit auch ein unendliches Wachstum zum Beispiel des Energieverbrauchs und der Ressourcen voraussetzt) für das Überleben der Wirtschaft notwendig sei!

Die logische Schlußfolgerung ist daher, dass aus der nicht verfügbaren Unendlichkeit ein zwangsläufiges Scheitern dieser Wirtschaftsstrategie folgen muss, also kein Überleben möglich ist. Die Folgen für die Bevölkerung zu bedenken, bleibt den LeserInnen überlassen ...

Zurück zum mathematischen Problem, dazu eine Methode, die nicht funktioniert, also ein falscher Weg:

Viele versuchen, diese Aufgabe so zu lösen, indem sie 2,5% mit 50 multiplizieren, also 50 mal miteinander addieren. Kommen wir so zum selben Ergebnis?

50⋅2,5%=125%,     100%+125%=225%=2,25,     750 Millionen ⋅ 2,25=1687,5 Millionen.

Das ist allerdings falsch!

Der Fehler liegt darin, dass man 2,5% immer auf die Bevölkerung von 1966 bezieht. Die Bevölkerung aber wächst jedoch jedes Jahr um 2,5% in Bezug auf das vorherige Jahr und nicht auf 1966. Daher muss man jedes Mal mit 1,025 und nicht einmal mit 2,25 multiplizieren. Die Rechnung ist mal 1,025 hoch 50 und nicht mal 50, was ein ziemlich unterschiedliches Ergebnis bedeutet.

Zerfall

Radioaktivität

Zerfall ist das Gegenteil von Wachstum. Zerfall liegt vor, wenn jede Periode (Jahr, Monat und so weiter) die vorhandene Menge um den gleichen Prozentsatz weniger wird. Ein geeignetes Beispiel dafür ist die Radioaktivität:

• Das Iod-Isotop ¹³¹I (wird in nuklear-medizinischen Therapie benutzt) wird täglich um 8,3% weniger. Wie viele Atome des Isotops bleiben nach 3 Wochen, wenn wir am Anfang 250000 Atome haben?

Wir können hier sofort die Formel des vorherigen Absatzes benutzen [E = A · (1+P:100)ⁿ], indem wir berücksichtigen, dass wir einen Zerfall und kein Wachstum haben, also die Atome werden weniger statt mehr. Wir müssen daher minus statt plus benutzen:

$\textstyle E=A\cdot (1-P:100)^{n}=250000{\text{ Atome}}\cdot \left(1-{\frac {8,3}{100}}\right)^{21}=$

$=250000\cdot \left({\frac {91,7}{100}}\right)^{21}=250000\cdot 0{,}917^{21}\approx 40522{\text{ Atome}}\quad$

(hier müssen wir auf eine ganze Zahl runden; warum denn? Die Hochzahl allerdings ist 21 und nicht 3; wieso?)

Bei der Radioaktivität gibt es eine für das jeweilige Isotop charakteristische Periode, die sogenannte „Halbwertszeit“. Das ist die Zeit, die notwendig ist, damit die Anzahl der radioaktiven Atome sich halbiert, also auf 50% abnimmt, daher der Name. Bei ¹³¹I ist diese Zeit 8 Tage. Bei Atomen, die in Kernkraftwerken benutzt werden, ist diese Zeit deutlich größer (zum Beispiel 4,5 Milliarden Jahren für ²³⁸U Uran). So entsteht radioaktiver Müll, mit dem nicht einfach umzugehen ist. Dieser Müll kann kaum mit technisch oder kommerziell vertretbarem Aufwand entsorgt werde. Oft wird er illegal auf Gefahr der Gesundheit der Bevölkerung entsorgt. Das und die Gefahr eines Unfalls (wie z.B. neulich in Fukushima), machen die Nutzung der Kernspaltung sehr gefährlich. Interessant ist dabei allerdings, dass ein einwandfrei funktionierendes Kernkraftwerk allein durch den Betrieb keine Radioaktivität nach außen freisetzt, das passiert erst bei entsprechenden Pannen.

Kohle enthält ebenfalls radioaktive Atome als unerwünschte Beigabe, wie übrigens praktisch jegliches Material, welches durch Bergbau gefördert wird. Mit der Abluft von Kohlekraftwerken wird durch den reinen Betrieb also mehr Radioaktivität in der Umwelt freigesetzt als durch ein Kernkraftwerk gleicher Leistung. Das Kohlekraftwerk produziert allerdings keinen zusätzlichen radioaktiven Müll und setzt keine zusätzliche Radioaktivität bei einer Panne frei.

Zinseszins

Wachstumsprozesse sind auch für das Banksystem sehr relevant. Das Guthaben in einem Konto wächst jährlich um den Zinssatz.

Wenn man kein Geld aufhebt oder einzahlt, kann man das Guthaben nach beliebigen Jahren mit Hilfe der Formel [E_n = A ∙ (1+P:100)ⁿ] berechnen.

(A ist hier das Kapital am Anfang, E das Guthaben nach n Jahren, P der Zinssatz)

• Berechne das Guthaben in einem Konto nach 20 Jahren, wenn das Kapital am Anfang 100000€ ist und der effektive Zinssatz 0,45%. Wie groß sind die Zinsen Z?

E = A ⋅ (1+P:100)ⁿ = 100000€ ⋅ (1+0,45:100)²⁰ ≈ 109395,34€    

(Warum muss man hier auf 2 Nachkommastellen runden?)

Die Zinsen kann man dann leicht berechnen: Z=E − A=109395,34€ − 100000€ = 9395,34€

Die Bank benutzt unseres Geld, um Geld zu investieren, zum Beispiel, um Geld anderen auszuleihen. Die Bank aber verlangt einen viel höheren Kreditzinssatz als den Zinssatz, den sie für unseres Geld im Konto gibt.

• Berechne, wie viel Geld eine Bank nach 20 Jahren gewinnt, wenn sie 100000€ mit 2,5% Zinssatz ausleiht.

E = A ⋅ (1+P:100)ⁿ = 100000€ ⋅ (1+2,5:100)²⁰ ≈163861,64€

Der Gewinn für die Bank ist daher: 163861,64€ − 100000€ ≈ 63861,64€ Das ist eindeutig viel mehr, als das Geld, das die Bank dem Kontoinhaber zurückgibt! Das reicht aber doch nicht aus! Banken dürfen mit unserem Geld mehrere Kredite vergeben. Quasi schöpfen sie so fiktives Geld mit jedem bereitgestellten Kredit. Sie dürfen, sagen wir mal, zehn Kredite vergeben. Sofern die Kreditgeber alles samt Zinsen zurückzahlen, ist der reine Gewinn für die Bank:

10 ⋅ 63861,64€ − 9395,34€ ≈ 629221,10€

Natürlich können Kredite ausfallen, werden also nicht zurückgezahlt. Ein solcher Ausfall ist zunächst einmal das Risiko der Bank. Zudem hat die Bank die Angestellten und die Infrastruktur (Bankgebäude, Computersysteme etc) zu finanzieren.

Ein Kommentar noch finde ich hier allerdings notwendig:

Diesen nicht gerade kleinen Gewinn rechtfertigen die Banken durch das genannte Risiko, das sie beim Ausleihen übernehmen. Je höher das Risiko des Kredits, desto höher der Kredit-Zinssatz.

Das Risiko wird aber schon dadurch reduziert, dass mehr Kredite vergeben werden, als Geld angelegt wurde. Die Tatsache, dass die Banken bei der letzten Finanzkrise doch Geld vom Steuerzahler bekommen haben, um einen Bankrott abzuwenden, ohne die geringste Forderung, das Geld zurückzugeben, zeigt eindeutig, dass sie das Risiko dem Staat übertragen haben, als etwas schief gegangen ist. Dass etwas schief geht, wird allerdings bei der angedeuteten Geldschöpfung durch Banken immer wieder der Fall sein wird.