F
(
x
,
y
,
y
′
,
…
,
y
(
n
)
)
=
0
{\displaystyle F(x,y,y',\dots ,y^{(n)})=0}
n
{\displaystyle n}
Eine gewöhnliche Differenzialgleichung 1. Ordnung ist somit eine Gleichung der Form
F
(
x
,
y
,
y
′
)
=
0
{\displaystyle F(x,y,y')=0}
Der Begriff gewöhnliche Differentialgleichung wird im Englischen auch mit ODE (Ordinary Differential Equation) abgekürzt. Wenn hier von Dgl. die Rede ist, dann ist damit immer eine gewöhnliche Differentialgleichung gemeint. Es gibt nämlich auch partielle Differentialgleichungen (PDE). Die werden aber erst später in dieser Buchreihe behandelt.
Beispiele für Dgln. 1. Ordnung:
y
′
=
x
{\displaystyle y'=x}
y
′
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle y'=x^{2}+y^{2}}
Beispiel für eine Dgl. 2. Ordnung:
A
y
″
(
x
)
+
B
y
′
(
x
)
+
C
y
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle Ay''(x)+By'(x)+Cy(x)=f(x)}
Nachfolgend sei das Richtungsfeld der Dgl.
y
′
=
y
−
x
{\displaystyle y'=y-x}
Richtungsfeld
[ Bearbeiten ] Siehe vorerst Satz von Picard-Lindelöf
Nun kommen wir zu den analytischen Lösungsmöglichkeiten für Dgln. Das Problem dabei ist, dass es keine geschlossene Lösungstheorie für Dgln. gibt. Stattdessen gibt es eine Vielzahl von Methoden, die jeweils auf eine bestimmte Klasse von Dgln. zugeschnitten ist. Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit ist die Separation (Trennung) der Variablen.
Beispiel: Löse die Gleichung
y
′
=
d
y
d
x
=
e
x
{\displaystyle y'={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\text{e}}^{x}}
Diese Dgl. ist elementar zu lösen. Man kann
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} x}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
∫
d
y
=
∫
e
x
d
x
⇒
y
=
e
x
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {d} y=\int {\text{e}}^{x}\;\mathrm {d} x\Rightarrow y={\text{e}}^{x}+C}
Die Konstante C ist z.B. aus einer Anfangsbedingung zu ermitteln.
Beispiel:
y
′
=
x
y
{\displaystyle y'=xy}
d
y
y
=
x
d
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{y}}=x\mathrm {d} x}
∫
d
y
y
=
∫
x
d
x
{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} y}{y}}=\int x\mathrm {d} x}
log
|
y
|
−
log
C
⏞
−
D
=
x
2
2
{\displaystyle \log |y|-\overbrace {\log C} ^{-D}={\frac {x^{2}}{2}}}
log
|
y
C
|
=
x
2
2
{\displaystyle \log |{\frac {y}{C}}|={\frac {x^{2}}{2}}}
y
=
C
e
x
2
2
{\displaystyle y=C{\text{e}}^{\frac {x^{2}}{2}}}
Übung: Löse folgende Dgl.
(
1
+
y
2
)
d
x
+
x
y
d
y
=
0
{\displaystyle (1+y^{2})\mathrm {d} x+xy\ \mathrm {d} y=0}
Manchmal muss man zuerst substituieren, um anschließend eine Separation der Variablen durchführen zu können.
Beispiel:
y
′
=
1
+
y
x
{\displaystyle y'=1+{\frac {y}{x}}}
Substitution:
z
=
y
x
⇒
{\displaystyle z={\frac {y}{x}}\Rightarrow }
y
=
x
z
;
{\displaystyle y=xz;\;}
y
′
=
z
+
x
z
′
{\displaystyle y'=z+xz'}
z
+
x
z
′
=
1
+
x
z
x
=
1
+
z
{\displaystyle z+xz'=1+{\frac {xz}{x}}=1+z}
x
d
z
d
x
=
1
{\displaystyle x{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} x}}=1}
∫
d
z
=
∫
d
x
x
{\displaystyle \int \mathrm {d} z=\int {\frac {\mathrm {d} x}{x}}}
z
=
log
|
x
|
+
C
{\displaystyle z=\log |x|+C}
y
=
x
(
log
|
x
|
+
C
)
{\displaystyle y=x(\log |x|+C)}
Beispiel:
2
y
′
+
y
2
+
1
x
2
=
0
{\displaystyle 2y'+y^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}=0}
Das lässt sich so umformen:
2
y
′
x
2
+
(
x
y
)
2
+
1
=
0
{\displaystyle 2y'x^{2}+(xy)^{2}+1=0}
Probieren wir nun folgende Substitution aus:
z
=
x
y
⇒
y
=
z
x
;
y
′
=
z
′
x
−
z
x
2
{\displaystyle z=xy\Rightarrow y={\frac {z}{x}};\;y'={\frac {z'x-z}{x^{2}}}}
2
z
′
x
−
z
x
2
x
2
+
z
2
+
1
=
0
{\displaystyle 2{\frac {z'x-z}{x^{2}}}x^{2}+z^{2}+1=0}
2
d
z
d
x
x
=
2
z
−
z
2
−
1
{\displaystyle 2{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} x}}x=2z-z^{2}-1}
−
2
d
z
d
x
x
=
z
2
−
2
z
+
1
=
(
z
−
1
)
2
{\displaystyle -2{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} x}}x=z^{2}-2z+1=(z-1)^{2}}
∫
d
z
(
z
−
1
)
2
=
−
∫
d
x
2
x
{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} z}{(z-1)^{2}}}=-\int {\frac {\mathrm {d} x}{2x}}}
1
1
−
z
=
−
1
2
log
|
x
|
{\displaystyle {\frac {1}{1-z}}=-{\frac {1}{2}}\log |x|}
1
1
−
x
y
=
−
1
2
log
|
x
|
+
C
{\displaystyle {\frac {1}{1-xy}}=-{\frac {1}{2}}\log |x|+C}
2
=
(
1
−
x
y
)
(
C
−
log
|
x
|
)
{\displaystyle 2=(1-xy)(C-\log |x|)}
Beispiel:
y
′
=
a
x
+
b
y
+
c
{\displaystyle y'=ax+by+c}
Hier substituieren wir direkt
z
=
a
x
+
b
y
+
c
{\displaystyle z=ax+by+c}
z
′
=
a
+
b
y
′
;
y
′
=
z
′
−
a
b
{\displaystyle z'=a+by';\;y'={\frac {z'-a}{b}}}
z
′
−
a
b
=
z
{\displaystyle {\frac {z'-a}{b}}=z}
Und nun separieren wir wieder die Variablen:
∫
d
z
a
+
b
z
=
∫
d
x
{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} z}{a+bz}}=\int \mathrm {d} x}
Integriert führt dies auf folgende Formel:
log
|
a
+
b
z
|
−
log
D
=
b
x
{\displaystyle \log |a+bz|-\log D=bx}
Rücksubstituieren:
log
a
+
b
(
a
x
+
b
y
+
c
)
D
=
b
x
{\displaystyle \log {\frac {a+b(ax+by+c)}{D}}=bx}
a
+
b
(
a
x
+
b
y
+
c
)
=
D
e
b
x
{\displaystyle a+b(ax+by+c)=D{\text{e}}^{bx}}
Homogene Funktion:
f
(
λ
x
1
,
λ
x
2
,
…
λ
x
n
)
=
λ
m
f
(
x
1
,
x
2
,
…
x
n
)
{\displaystyle f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\dots \lambda x_{n})=\lambda ^{m}f(x_{1},x_{2},\dots x_{n})}
m
{\displaystyle m}
Seien
M
(
x
,
y
)
{\displaystyle M(x,y)}
N
(
x
,
y
)
{\displaystyle N(x,y)}
M
(
x
,
y
)
d
x
+
N
(
x
,
y
)
d
y
=
0
{\displaystyle M(x,y)\mathrm {d} x+N(x,y)\mathrm {d} y=0}
z
=
y
x
{\displaystyle z={\frac {y}{x}}}
Beispiel:
(
x
+
y
)
d
x
+
(
x
−
y
)
d
y
=
0
{\displaystyle (x+y)\mathrm {d} x+(x-y)\mathrm {d} y=0}
Dies ist eine homogene Gleichung vom Homogenitätsgrad 1.
Substitution:
y
=
z
x
;
y
′
=
z
′
x
+
z
{\displaystyle y=zx;\;y'=z'x+z}
x
+
z
x
+
(
x
−
z
x
)
(
z
′
x
+
z
)
=
0
{\displaystyle x+zx\mathrm {+} (x-zx)(z'x+z)=0}
x
+
z
x
+
x
2
z
′
−
z
x
2
z
′
+
z
x
−
z
2
x
=
0
{\displaystyle x+zx+x^{2}z'-zx^{2}z'+zx-z^{2}x=0}
1
+
z
+
x
z
′
−
z
x
z
′
+
z
−
z
2
=
0
{\displaystyle 1+z+xz'-zxz'+z-z^{2}=0}
z
′
x
(
1
−
z
)
+
2
z
−
z
2
+
1
=
0
{\displaystyle z'x(1-z)+2z-z^{2}+1=0}
d
z
d
x
x
=
z
2
−
2
z
−
1
1
−
z
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} x}}x={\frac {z^{2}-2z-1}{1-z}}}
∫
1
−
z
z
2
−
2
z
−
1
d
z
=
∫
d
x
x
{\displaystyle \int {\frac {1-z}{z^{2}-2z-1}}\mathrm {d} z=\int {\frac {\mathrm {d} x}{x}}}
Diese Integrale können gelöst werden und dann wird wieder rücksubstituiert. Dies machen wir hier aber nicht und beenden dieses Beispiel somit. Die Berechnung mit Maxima ergibt:
Siehe z.B. Exakte Differentialgleichung
Obwohl sie ähnlich heißen, haben homogene lineare Dgln. nichts mit den vorher behandelten homogenen Dgln. zu tun. Es liegen hier Dgln. folgender Form vor:
y
′
−
g
(
x
)
y
=
0
{\displaystyle y'-g(x)y=0}
Eine Separation der Variablen führt zum Ziel:
d
y
y
=
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{y}}=g(x)\mathrm {d} x}
log
|
y
|
−
log
C
=
∫
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \log |y|-\log C=\int g(x)\mathrm {d} x}
|
y
|
=
C
e
∫
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle |y|=C{\text{e}}^{\int g(x)\mathrm {d} x}}
Beispiel:
y
′
−
2
sin
(
x
)
y
=
0
{\displaystyle y'-2\sin {(x)}y=0}
∫
d
y
y
=
2
∫
sin
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} y}{y}}=2\int \sin {(x)}\mathrm {d} x}
log
|
y
|
−
log
C
=
−
2
cos
(
x
)
{\displaystyle \log |y|-\log C=-2\cos(x)}
|
y
|
=
C
e
−
2
cos
(
x
)
{\displaystyle |y|=C{\text{e}}^{-2\cos(x)}}
Es liegen Dgln. folgender Form vor:
y
′
−
g
(
x
)
y
=
h
(
x
)
{\displaystyle y'-g(x)y=h(x)}
Wir können die homogene lineare Gleichung wie oben lösen:
y
′
−
g
(
x
)
y
=
0
{\displaystyle y'-g(x)y=0}
y
=
C
e
G
(
x
)
{\displaystyle y=C{\text{e}}^{G(x)}}
G
(
x
)
=
∫
x
0
x
(
g
(
x
)
)
d
x
{\displaystyle G(x)=\int _{x_{0}}^{x}(g(x))\mathrm {d} x}
Wir setzen bei dieser Methode
y
(
x
)
=
C
(
x
)
e
G
(
x
)
{\displaystyle y(x)=C(x){\text{e}}^{G(x)}}
y
′
(
x
)
=
C
′
(
x
)
e
G
(
x
)
+
C
(
x
)
G
′
(
x
)
e
G
(
x
)
{\displaystyle y'(x)=C'(x){\text{e}}^{G(x)}+C(x)G'(x){\text{e}}^{G(x)}}
C
′
(
x
)
e
G
(
x
)
+
C
(
x
)
G
′
(
x
)
⏞
g
(
x
)
e
G
(
x
)
=
g
(
x
)
C
(
x
)
e
G
(
x
)
+
h
(
x
)
{\displaystyle C'(x){\text{e}}^{G(x)}+{\cancel {C(x)\overbrace {G'(x)} ^{g(x)}{\text{e}}^{G(x)}}}={\cancel {g(x)C(x){\text{e}}^{G(x)}}}+h(x)}
Wir dividieren durch
e
G
(
x
)
{\displaystyle {\text{e}}^{G(x)}}
C
′
(
x
)
=
h
(
x
)
e
−
G
(
x
)
{\displaystyle C'(x)=h(x){\text{e}}^{-G(x)}}
und integrieren
C
(
x
)
=
∫
x
0
x
h
(
t
)
e
−
G
(
t
)
d
t
+
C
1
{\displaystyle C(x)=\int _{x_{0}}^{x}h(t){\text{e}}^{-G(t)}\mathrm {d} t+C_{1}}
Jetzt setzen wir ein
y
(
x
)
=
C
(
x
)
e
G
(
x
)
=
(
∫
x
0
x
h
(
t
)
e
−
G
(
t
)
d
t
+
C
1
)
e
G
(
x
)
;
C
1
=
y
0
{\displaystyle y(x)=C(x){\text{e}}^{G(x)}=\left(\int _{x_{0}}^{x}h(t){\text{e}}^{-G(t)}\mathrm {d} t+C_{1}\right){\text{e}}^{G(x)};\quad C_{1}=y_{0}}
Beispiel:
y
′
−
y
x
=
x
;
y
(
1
)
=
0
{\displaystyle y'-{\frac {y}{x}}=x;\quad y(1)=0}
g
(
x
)
=
1
x
;
h
(
x
)
=
x
;
(
x
0
,
y
0
)
=
(
1
,
0
)
{\displaystyle g(x)={\frac {1}{x}};\quad h(x)=x;\quad (x_{0},y_{0})=(1,0)}
G
(
x
)
=
∫
x
0
x
g
(
t
)
d
t
=
∫
1
x
d
t
t
=
log
|
x
|
{\displaystyle G(x)=\int _{x_{0}}^{x}g(t)\mathrm {d} t=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}=\log |x|}
y
(
x
)
=
(
∫
x
0
x
h
(
t
)
e
−
G
(
t
)
d
t
+
y
0
)
e
G
(
x
)
=
(
∫
1
x
t
e
−
log
|
t
|
d
t
+
0
)
e
log
|
x
|
=
∫
1
x
t
1
t
d
t
x
=
x
(
x
−
1
)
{\displaystyle y(x)=\left(\int _{x_{0}}^{x}h(t){\text{e}}^{-G(t)}\mathrm {d} t+y_{0}\right){\text{e}}^{G(x)}=\left(\int _{1}^{x}t\mathrm {e} ^{-\log |t|}\mathrm {d} t+0\right)\mathrm {e} ^{\log |x|}=\int _{1}^{x}t{\frac {1}{t}}\mathrm {d} t\;x=x(x-1)}
Beispiel:
y
′
+
a
y
=
x
;
{\displaystyle y'+ay=x;\;}
a
=
konstant
{\displaystyle a={\text{konstant}}}
Lösung der homogenen Dgl.:
y
′
=
−
a
y
⇒
y
=
C
e
−
a
x
{\displaystyle y'=-ay\Rightarrow y=C\mathrm {e} ^{-ax}}
Variation der Konstanten:
y
′
=
C
′
e
−
a
x
−
C
a
e
−
a
x
{\displaystyle y'=C'\mathrm {e} ^{-ax}-Ca\mathrm {e} ^{-ax}}
C
′
e
−
a
x
−
C
a
e
−
a
x
+
a
C
e
−
a
x
=
x
{\displaystyle C'\mathrm {e} ^{-ax}-{\cancel {Ca\mathrm {e} ^{-ax}}}+{\cancel {aC\mathrm {e} ^{-ax}}}=x}
C
′
=
x
e
a
x
{\displaystyle C'=x\mathrm {e} ^{ax}}
Aus einer Integraltafel (oder mittels partieller Integration) findet man damit
C
=
e
a
x
a
2
(
a
x
−
1
)
+
D
{\displaystyle C={\frac {\mathrm {e} ^{ax}}{a^{2}}}(ax-1)+D}
und somit
y
=
C
e
−
a
x
=
(
e
a
x
a
2
(
a
x
−
1
)
+
D
)
e
−
a
x
{\displaystyle y=Ce^{-ax}=\left({\frac {\mathrm {e} ^{ax}}{a^{2}}}(ax-1)+D\right)\mathrm {e} ^{-ax}}
Die Konstante D kann man wieder aus einer Anfangsbedingung ermitteln. Auch hier sei wieder auf die Möglichkeit der Berechnung mittels Computeralgebrasystemen hingewiesen. So ergibt die Berechnung mit dem CAS Maxima natürlich obige Formel:
Jakob Bernoulli (1654–1705) schweizer Mathematiker und Physiker Die bernoullische Dgl.
y
′
=
f
(
x
)
y
+
g
(
x
)
y
α
;
α
≠
0
,
α
≠
1
{\displaystyle y'=f(x)y+g(x)y^{\alpha };\;\alpha \neq 0,\alpha \neq 1}
z
=
y
−
α
+
1
{\displaystyle z=y^{-\alpha +1}}
Siehe auch Bernoullische Differentialgleichung
Jacopo Francesco Riccati (1676-1754) italienischer Mathematiker Siehe vorerst Riccatische Differentialgleichung
y
′
−
A
(
x
)
y
=
0
{\displaystyle \mathbf {y} '-\mathbf {A} (x)\mathbf {y} =\mathbf {0} }
Wronski-Determinante Fundamentalsystem (Mathematik)
Josef Hoëné-Wronski (1776-1853) polnischer Mathematiker Sei
y
1
,
…
,
y
n
{\displaystyle \mathbf {y} _{1},\dots ,\mathbf {y} _{n}}
y
′
{\displaystyle \mathbf {y} '}
y
{\displaystyle \mathbf {y} }
y
=
C
1
y
1
+
⋯
+
C
n
y
n
{\displaystyle \mathbf {y} =C_{1}\mathbf {y} _{1}+\dots +C_{n}\mathbf {y} _{n}}
C
i
=
konst.
{\displaystyle C_{i}={\text{konst.}}}
y
′
−
A
(
x
)
y
=
B
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {y} '-\mathbf {A} (x)\mathbf {y} =\mathbf {B} (x)}
Sei
y
p
{\displaystyle \mathbf {y} _{p}}
y
1
,
…
,
y
n
{\displaystyle \mathbf {y} _{1},\dots ,\mathbf {y} _{n}}
y
p
(
x
)
+
C
1
y
1
+
⋯
+
C
n
y
n
{\displaystyle \mathbf {y} _{p}(x)+C_{1}\mathbf {y} _{1}+\dots +C_{n}\mathbf {y} _{n}}
C
i
=
konst.
{\displaystyle C_{i}={\text{konst.}}}
Ernst Leonard Lindelöf (1870-1946) finnischer Mathematiker
Charles Émile Picard (1856-1941) französischer Mathematiker
_Mathematiker_und_Physiker.jpg)
.jpg)
