Ing Mathematik: Lineare Dgl n-ter Ordnung

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Lineare Dgln. n-ter Ordnung sind gegeben durch

$y^{(n)}(x)+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+a_{n-2}(x)y^{(n-2)}(x)+\dots +a_{0}(x)y(x)=g(x)$.

Wichtig sind in der Technik vor allem lineare Dgln. mit konstanten Koeffizienten, die wir anschließend behandeln:

$y^{(n)}(x)+a_{n-1}y^{(n-1)}(x)+a_{n-2}y^{(n-2)}+\dots +a_{0}y(x)=g(x)$.

Homogene Dgl.

$y^{(n)}(x)+a_{n-1}y^{(n-1)}(x)+a_{n-2}y^{(n-2)}+\dots +a_{0}y(x)=0$

Ansatz: $y(x)={\text{e}}^{\lambda x}$

Beispiel: $y''-9y=0$

Ansatz: $y(x)={\text{e}}^{\lambda x};\;y'=\lambda {\text{e}}^{\lambda x};\;y''=\lambda ^{2}{\text{e}}^{\lambda x}$

$(\lambda ^{2}-9){\text{e}}^{\lambda x}=0$

Damit dies gilt, muss $\lambda ^{2}-9=0$ sein. Diese Gleichung heißt auch charakteristische Gleichung.

$\lambda _{1,2}=\pm 3$

$y=C_{1}{\text{e}}^{3x}+C_{2}{\text{e}}^{-3x}$

Beispiel: Freie ungedämpfte Schwingungen führen auf die Gleichung $y''+\omega ^{2}y=0$

Ansatz wie oben: $y(x)={\text{e}}^{\lambda x};\;y'=\lambda {\text{e}}^{\lambda x};\;y''=\lambda ^{2}{\text{e}}^{\lambda x}$

$(\lambda ^{2}+\omega ^{2}){\text{e}}^{\lambda x}=0$

$\lambda _{1,2}=\pm i\omega$

$y=\overbrace {C_{1}} ^{\frac {D_{1}+{\frac {D_{2}}{i}}}{2}}{\text{e}}^{i\omega x}+\overbrace {C_{2}} ^{\frac {D_{1}-{\frac {D_{2}}{i}}}{2}}{\text{e}}^{-i\omega x}=D_{1}\cos(\omega x)+D_{1}\sin(\omega x)$

Beispiel: Freie gedämpfte Schwingungen $y''+2\delta y'+\omega ^{2}y=0$

Es wird wieder der Exponentialansatz verwendet. Dies führt auf $\lambda ^{2}+2\delta \lambda +\omega ^{2}=0$

$\lambda _{1,2}=-\delta \pm {\sqrt {\delta ^{2}-\omega ^{2}}}$

Fallunterscheidung:

• Kritische Dämpfung (aperiodischer Grenzfall): $\delta =\omega$
• Unterkritische Dämpfung (schwache Dämpfung) $\delta <\omega$
• Überkritische Dämpfung (starke Dämpfung) $\delta >\omega$

• 
  Schwache Dämpfung
• 
  Starke Dämpfung

Kritische Dämpfung: Wir haben eine zweifache Wurzel $\lambda _{1,2}=-\delta$

$y=C_{1}{\text{e}}^{-\delta x}+C_{2}x{\text{e}}^{-\delta x}$

Überkritische Dämpfung: $\lambda _{1,2}=-\delta \pm {\sqrt {\delta ^{2}-\omega ^{2}}}$

$y=C_{1}{\text{e}}^{-\delta x+{\sqrt {\delta ^{2}-\omega ^{2}}}x}+C_{2}{\text{e}}^{-\delta x-{\sqrt {\delta ^{2}-\omega ^{2}}}x}$

Unterkritische Dämpfung: $\lambda _{1,2}=-\delta \pm i{\sqrt {\omega ^{2}-\delta ^{2}}}$

$y=C_{1}{\text{e}}^{-\delta x+i{\sqrt {\omega ^{2}-\delta ^{2}}}x}+C_{2}{\text{e}}^{-\delta x-i{\sqrt {\omega ^{2}-\delta ^{2}}}x}={\text{e}}^{-\delta x}\left(D_{1}\cos {{\sqrt {\omega ^{2}-\delta ^{2}}}x}+D_{2}\sin {{\sqrt {\omega ^{2}-\delta ^{2}}}x}\right)$

Beispiel: $y'''-y=0$

Der Exponentialansatz führt auf die charakteristische Gleichung $\lambda ^{3}-1=0$

Die Wurzeln sind $\lambda _{1}=1$ (durch probieren)

$(\lambda ^{3}-1):(x-1)=\lambda ^{2}+\lambda +1\Rightarrow \lambda _{2,3}={\frac {-1\pm i{\sqrt {3}}}{2}}$

Das führt nach ein bisschen herumrechnen auf

$y=C_{1}{\text{e}}^{x}+{\text{e}}^{-{\frac {x}{2}}}\left(C_{2}\cos \left({\frac {\sqrt {3}}{2}}x\right)+C_{3}\sin \left({\frac {\sqrt {3}}{2}}x\right)\right)$

Wronski-Determinante und Fundamentalsystem

Die Lösungen $y_{h1},y_{h2},\dots$ einer homogenen linearen Dgl. ergeben ein Fundamentalsystem, wenn die Wronski-Determinante ungleich null ist:

$W={\begin{vmatrix}y_{h1}&y_{h2}&\cdots &y_{hn}\\y_{h1}'&y_{h2}'&\cdots &y_{hn}'\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{h1}^{(n-1)}&y_{h2}^{(n-1)}&\cdots &y_{hn}^{(n-1)}\end{vmatrix}}\neq 0$

Beispiel: Für die Dgl. $y''-9y=0$ haben wir bereits die Lösung ermittelt. $y=C_{1}{\text{e}}^{3x}+C_{2}{\text{e}}^{-3x}$. Dass dies auch zulässig war, können wir mittels Wronski-Determinate zeigen:

$W={\begin{vmatrix}{\text{e}}^{3x}&{\text{e}}^{-3x}\\3{\text{e}}^{3x}&-3{\text{e}}^{-3x}\end{vmatrix}}=-3{\text{e}}^{3x}{\text{e}}^{-3x}-3{\text{e}}^{3x}{\text{e}}^{-3x}=-6\neq 0$

Inhomogene Dgl.

Eine Lösung der inhomogenen Dgl. erhalten wir, wenn man zur homogenen Lösung noch eine partikuläre hinzufügt.

$y=y_{h}+y_{p}$

Die Bestimmung der homogenen Lösung haben wir im vorigen Kapitel umfassend behandelt. Zur Bestimmung der partikulären Lösung gibt es eine Reihe von Methoden:

• Variation der Konstanten (siehe z.B.  Variation der Konstanten)
• Operatorenmethode
• Greensche Methode
• Ansatz vom Typ der rechten Seite

Operatorenmethode

Siehe z.B. Burg, Haf, Wille, Meister: Höhere Mathematik für Ingenieure, Band III; 5. Auflage, Springer, 2009, Seite 171ff.

Greensche Methode

Gegeben sei eine inhomogene Dgl.

$y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +a_{0}y=g(x)$

Die greensche Methode (auch Grundlösungsverfahren genannt) geht vom homogenen Anfangswertproblem im Intervall $[a,b]$

$w^{(n)}+a_{n-1}w^{(n-1)}+\dots +a_{0}w=0$

AB.: $w(a)=w'(a)=\dots =w^{(n-2)}(a)=0;\;w^{(n-1)}(a)=1$

aus.

Dann ist

$y_{p}(x)=\int _{a}^{x}w(x-t+a)g(t)\mathrm {d} t$

eine partikuläre Lösung auf $[a,b]$. Zwecks Beweis siehe z.B. Burg, Haf, Wille, Meister: Höhere Mathematik für Ingenieure, Band III; 5. Auflage, Springer, 2009, Seite 177f.

Beispiel: $y''-y=x$

Homogene Dgl. mit gegebenen Anfangsbedingungen: $w''-w=0;\;w(1)=0,w'(1)=1$

Lösung dieses Problems mit dem Exponentialansatz:

$\lambda ^{2}-1=0$

$\lambda _{1,2}=\pm 1$

$w(x)=C_{1}\mathrm {e} ^{x}+C_{2}\mathrm {e} ^{-x}$

$w'(x)=C_{1}\mathrm {e} ^{x}-C_{2}\mathrm {e} ^{-x}$

Berücksichtigung der Anfangswerte führt auf

$C_{1}\mathrm {e} +{\frac {C_{2}}{\mathrm {e} }}=0$

$C_{1}\mathrm {e} -{\frac {C_{2}}{\mathrm {e} }}=1$

$\Rightarrow C_{1}={\frac {1}{2\mathrm {e} }};\;C_{2}=-{\frac {\mathrm {e} }{2}}$

und somit lautet die Lösung des homogenen Anfangswertproblems:

$w(x)={\frac {1}{2\mathrm {e} }}\mathrm {e} ^{x}-{\frac {\mathrm {e} }{2}}\mathrm {e} ^{-x}$

Kommen wir nun zur partikulären Lösung, die sich aus dem oben angegebenen Integral berechnen lässt:

$y_{p}(x)=\int _{1}^{x}w(x-t+1)g(t)\mathrm {d} t=\int _{1}^{x}\left({\frac {1}{2\mathrm {e} }}\mathrm {e} ^{x-t+1}-{\frac {\mathrm {e} }{2}}\mathrm {e} ^{-(x-t+1)}\right)t\ \mathrm {d} t={\frac {\mathrm {e} ^{x}}{2}}\int _{1}^{x}\mathrm {e} ^{-t}t\mathrm {d} t-{\frac {\mathrm {e} ^{-x}}{2}}\int _{1}^{x}\mathrm {e} ^{t}t\mathrm {d} t$

Nach etwas elementarer Herumrechnerei und ggf. der Benutzung von Integraltafeln kommt man auf das Ergebnis

$y_{p}=-x$

Somit ist

$y=w+y_{p}={\frac {1}{2\mathrm {e} }}\mathrm {e} ^{x}-{\frac {\mathrm {e} }{2}}\mathrm {e} ^{-x}-x$

Kontrolle mit dem CAS Maxima:

Ansatz vom Typ der rechten Seite

Beispiel: Erzwungene Schwingung mit schwacher Dämpfung $y''+2\delta y'+\omega ^{2}y=\omega ^{2}x_{0}\cos(\Omega x)$. Die Lösung für die homogene Funktion (freie gedämpfte Schwingung) haben wir schon berechnet:

$y_{h}={\text{e}}^{-\delta x}\left(D_{1}\cos {{\sqrt {\omega ^{2}-\delta ^{2}}}x}+D_{2}\sin {{\sqrt {\omega ^{2}-\delta ^{2}}}x}\right)$

Folgende Abkürzungen führen wir ein: $\eta ={\frac {\Omega }{\omega }};\;D={\frac {\delta }{\omega }}$.

${\frac {1}{\omega ^{2}}}y''+{\frac {2D}{\omega }}y'+y=x_{0}\cos(\Omega x)$

Die partikuläre Lösung wollen wir mit einem Ansatz vom Typ der rechten Seite bestimmen.

$y_{p}=x_{0}V\cos(\Omega x-\Psi )=x_{0}V(\cos \Omega x\cos \Psi +\sin \Omega x\sin \Psi )$

$y_{p}'=x_{0}V\Omega (-\sin \Omega x\cos \Psi +\cos \Omega x\sin \Psi )$

$y_{p}''=x_{0}V\Omega ^{2}(-\cos \Omega x\cos \Psi -\sin \Omega x\sin \Psi )$

Einsetzen führt auf

${\begin{aligned}{\cancel {x_{0}}}V\eta ^{2}(-\cos \Omega x\cos \Psi -\sin \Omega x\sin \Psi )+2D{\cancel {x_{0}}}V\eta (-\sin \Omega x\cos \Psi +\cos \Omega x\sin \Psi )+{\cancel {x_{0}}}V(\cos \Omega x\cos \Psi +\sin \Omega x\sin \Psi )\\={\cancel {x_{0}}}\cos \Omega x\end{aligned}}$

Damit gilt

$V(-\eta ^{2}\cos \Psi +2D\eta \sin \Psi +\cos \Psi )=1$

$-\eta ^{2}\sin \Psi -2D\eta \cos \Psi +\sin \Psi =0$

Somit ist die Phasenverschiebung $\Psi$

$\tan \Psi ={\frac {2D\eta }{1-\eta ^{2}}}$

und die Vergrößerungsfunktion

$V={\frac {1}{\sqrt {(1-\eta ^{2})^{2}+4D^{2}\eta ^{2}}}}$

Die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung lautet

$y(x)=y_{h}+y_{p}={\text{e}}^{-\delta x}\left(D_{1}\cos {{\sqrt {\omega ^{2}-\delta ^{2}}}x}+D_{2}\sin {{\sqrt {\omega ^{2}-\delta ^{2}}}x}\right)+x_{0}V\cos(\Omega x-\Psi )$

Die partikuläre Lösung beschreibt den eingeschwungenen Zustand. $y_{h}$ klingt exponentiell ab.

Eliminationsverfahren

Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten lassen sich manchmal durch lineare Dgln. n-ter Ordnung abbilden.

Beispiel:

${\begin{aligned}y_{1}'&=6y_{1}+y_{2}\\y_{2}'&=y_{1}+y_{2}\end{aligned}}$

Eliminieren wir daraus $y_{2}$ und $y_{2}'$.

$y_{2}=y_{1}'-6y_{1};\;y_{2}'=y_{1}''-6y_{1}'$

$\overbrace {y_{1}''-6y_{1}'} ^{y_{2}'}=y_{1}+\overbrace {y_{1}'-6y_{1}} ^{y_{2}}$

$y_{1}''-7y_{1}'+5y_{1}=0$

Diese Art von Dgl. kennen wir schon. Sie lässt sich mittels Exponentialansatz lösen.

$\lambda ^{2}-7\lambda +5=0$

$\lambda _{1,2}={\frac {7\pm {\sqrt {29}}}{2}}$

$y_{1}=C_{1}\mathrm {e} ^{\lambda _{1}x}+C_{2}\mathrm {e} ^{\lambda _{2}x};\;y_{1}'=C_{1}\lambda _{1}\mathrm {e} ^{\lambda _{1}x}+C_{2}\lambda _{2}\mathrm {e} ^{\lambda _{2}x}$

Nun setzen wir das für $y_{2}$ ein:

$y_{2}=y_{1}'-6y_{1}=C_{1}\lambda _{1}\mathrm {e} ^{\lambda _{1}x}+C_{2}\lambda _{2}\mathrm {e} ^{\lambda _{2}x}-6(C_{1}\mathrm {e} ^{\lambda _{1}x}+C_{2}\mathrm {e} ^{\lambda _{2}x})$

$y_{2}=(C_{1}\lambda _{1}-6C_{1})e^{\lambda _{1}x}+(C_{2}\lambda _{2}-6C_{2})e^{\lambda _{2}x}$

Die Lösung ist somit

$\mathbf {y} (x)={\begin{bmatrix}y_{1}(x)\\y_{2}(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{1}\mathrm {e} ^{\lambda _{1}x}+C_{2}\mathrm {e} ^{\lambda _{2}x}\\(\lambda _{1}-6)C_{1}e^{\lambda _{1}x}+(\lambda _{2}-6)C_{2}e^{\lambda _{2}x}\end{bmatrix}}$

Potenzreihenansätze

Siehe vorerst z.B.  Potenzreihenansatz oder Burg, Haf, Wille, Meister: Höhere Mathematik für Ingenieure, Band III; 5. Auflage, Springer, 2009, Seite 225ff.

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