Ing Mathematik: Differentialrechnung

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Grundlagen

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Die Ableitung einer Funktion ist durch folgende Gleichung definiert:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

Die Funktion $f$ geht durch den Punkt $(x,y)=\left(x,f(x)\right)$. Zeichnet man in diesem Punkt die Tangente an die Funktion und misst deren Steigung aus, so erhält man gerade den Wert ${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}$. Die Ableitung hat also die anschauliche Bedeutung der Tangentensteigung. Sucht man eine Gerade die durch den Punkt $\left(x,f(x)\right)$ geht und deren Funktionswerte in einem kleinen Bereich um x herum möglichst nahe an denen von $f$ liegen soll, so erhält man gerade die Tangente. Man nennt die Tangente daher auch lineare Bestapproximation. Zur Berechnung der Ableitungen gibt es einige Regeln, die im Folgenden nachgerechnet werden. Es gibt viele unterschiedliche Schreibweisen für Ableitungen, einige von diesen sind:

${\frac {\partial }{\partial x}}f(x)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x)={\frac {\partial f(x)}{\partial x}}$

Sie sind alle gleichwertig. Weiterhin gibt es noch die Schreibweise:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(x)={\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}=f'(x)$

In viele Fällen ist sie den obigen Schreibweisen gleichwertig. Jedoch gilt es insbesondere im mehrdimensionalen Fall Unterschiede zwischen diesen beiden Schreibweisen zu beachten, so dass häufig gilt:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)\neq {\frac {\partial }{\partial x}}f(x)$

Aber dies soll uns hier noch nicht belasten. Man kann jeder differenzierbaren Funktion ihre Ableitung zuordnen. Damit hat man dann eine Abbildung von der Menge der Funktionen in die Menge der Funktionen. Für diese Abbildung schreibt man auch das Symbol ${\frac {\partial }{\partial x}}$ . Es handelt sich also um ein Rechenzeichen das aus einer Funktion deren Ableitung berechnet. Diese Art von Rechenzeichen nennt man auch Differenzialoperatoren. Natürlich ist auch ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}$ ein Differenzialoperator. Erfunden wurde die Differentialrechnung von Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz.

• 
  Sir Isaac Newton (1642-1727) englischer Universalgelehrter
• 
  Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) deutscher Universalgelehrter

Summenregel

${\begin{matrix}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(f(x)\pm g(x)\right)&=&\lim _{h\to 0}{\frac {\left(f(x+h)\pm g(x+h)\right)-\left(f(x)\pm g(x)\right)}{h}}&=&\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\pm \lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\\&=&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)\pm {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}g(x)&&\end{matrix}}$

Produktregel

${\begin{matrix}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(f(x)\cdot g(x)\right)&=&\lim _{h\to 0}{\frac {\left(f(x+h)\cdot g(x+h)\right)-\left(f(x)\cdot g(x)\right)}{h}}\\&=&\lim _{h\to 0}{\frac {\left(f(x+h)\cdot g(x+h)\right)-f(x+h)\cdot g(x)+f(x+h)\cdot g(x)-\left(f(x)\cdot g(x)\right)}{h}}\\&=&\lim _{h\to 0}f(x+h){\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}+\lim _{h\to 0}g(x){\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=&f(x){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}g(x)+g(x){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)\end{matrix}}$

Quotientenregel

${\begin{matrix}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {1}{f(x)}}&=&\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\left({\frac {1}{f(x+h)}}-{\frac {1}{f(x)}}\right)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x)-f(x+h)}{hf(x+h)f(x)}}\\&=&\lim _{h\to 0}-{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\cdot {\frac {1}{f(x)f(x+h)}}=-{\frac {1}{f(x)^{2}}}{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {f(x)}{g(x)}}&=&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}\right)=f(x)\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {1}{g(x)}}+{\frac {1}{g(x)}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)\\&=&-f(x){\frac {1}{g(x)^{2}}}{\frac {\mathrm {d} g(x)}{\mathrm {d} x}}+{\frac {1}{g(x)}}{\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}={\frac {g(x){\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}-f(x){\frac {\mathrm {d} g(x)}{\mathrm {d} x}}}{g(x)^{2}}}\end{matrix}}$

Ableitung der identischen Funktion

Betrachten wir die identische Abbildung $f(x)=x$:

${\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {x+h-x}{h}}=\lim _{h\to 0}1=1$

Dies ist nicht verwunderlich da jede Tangente an eine Gerade mit der Steigung 1 ebenfalls die Steigung 1 hat.

Potenzen

Betrachten wir die Funktion $f(x)=x^{n}$ wobei $n\in \mathbb {N}$: Die Ableitung ist gegeben durch:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}x^{n}=nx^{n-1}$

Dies zeigen wir per Induktion. Mit der Berechnung der Ableitung der Funktion $f(x)=x$ haben wir diese Formel schon für $n=1$ bewiesen. Es bleibt also nur noch der Induktionsschritt von $n-1$ auf $n$. Sei die Formel für $n-1$ schon bewiesen: Dann berechnet sich die Ableitung von $x^{n}$ nach der Produktregel:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}x^{n}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x\cdot x^{n-1}\right)=1\cdot x^{n-1}+x\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}x^{n-1}=x^{n-1}+x\left(n-1\right)x^{n-2}=nx^{n-1}$

Damit ist die Aussage für alle $n\in \mathbb {N}$ bewiesen.

Konstanten

Betrachten wir die konstante Funktion $f(x)=k$:

${\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {k-k}{h}}=\lim _{h\to 0}0=0$

Die Ableitung der konstanten Funktion ist also 0. Betrachten wir nun eine beliebige Funktion multipliziert mit einer Konstanten.$f(x)=k\cdot g(x)$

${\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {k\cdot g(x+h)-k\cdot g(x)}{h}}=k\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}=k{\frac {\mathrm {d} g(x)}{\mathrm {d} x}}$

Man darf Konstanten also einfach vor die Ableitung ziehen.

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(k\cdot g(x)\right)=k\cdot {\frac {\mathrm {d} g(x)}{\mathrm {d} x}}$

Exponentialfunktion

Die Ableitung der Exponentialfunktion

$e^{x}=1+{\frac {1}{1!}}x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+...$

berechnet sich nach obigen Regeln zu:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{x}=0+{\frac {1}{1!}}1+{\frac {2}{2!}}x^{1}+{\frac {3}{3!}}x^{2}=1+{\frac {1}{1!}}x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+...=e^{x}$

Sie geht also beim Ableiten in sich selbst über.

Für $f(x)=a^{x}$ gilt:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}a^{x}=a^{x}\,\log a.$

$\log$ ist hier der natürliche Logarithmus.

Übung: Leiten Sie ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}a^{x}=a^{x}\,\log a$ her. Eine Lösung der Übung findet sich z.B.  auf Wikipedia.

Kettenregel

${\begin{matrix}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(g(x))&=&\lim _{h\to 0}{\frac {f(g(x+h))-f(g(x))}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(g(x+h))-f(g(x))}{h}}\cdot {\frac {g(x+h)-g(x)}{g(x+h)-g(x)}}\\&=&\lim _{h\to 0}{\frac {f(g(x)+(g(x+h)-g(x)))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}}{\frac {g(x+h)-g(x)}{\cdot }}\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\\&=&\lim _{((g(x+h)-g(x))\to 0}{\frac {f(g(x)+(g(x+h)-g(x)))-f(g(x))}{(g(x+h)-g(x)}}{\frac {\partial g(x)}{\partial x}}\\&=&{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} g}}\left(g(x)\right)\cdot {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\left(x\right)\end{matrix}}$

Umkehrfunktion

Sei $f$ eine beliebige Funktion und g die zugehörige Umkehrfunktion dann gilt offensichtlich:

$f(g(x))=x$

Leitet man beide Seiten ab so erhält man:

${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} g}}\left(g(x)\right)\cdot {\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {d} x}}\left(x\right)=1$

Logarithmus

Wendet man das obige Ergebnis mit $f(g)=\log(g)$ und $g(x)=e^{x}$ an so hat man:

${\frac {\mathrm {d} \log(g)}{\mathrm {d} g}}\cdot e^{x}=1$

und somit

${\frac {\mathrm {d} \log(g)}{\mathrm {d} g}}={\frac {1}{g}}$

Die Ableitung des Logarithmus $\log(x)$ ist also die Funktion ${\frac {1}{x}}$. Dir Funktion $\log$ sei hier der natürliche Logarithmus!

Für einen Logarithmus zur Basis a gilt allgemein:

${\frac {\mathrm {d} \log _{a}|x|}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{x\,\log a}}.$

Übung: Leiten Sie ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log _{a}|x|={\frac {1}{x\,\log a}}$ her.

Beispiel: Etwas vertrackt ist die Ableitung von $x^{x}$. Dazu erweitern wir den Ausdruck

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}x^{x}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\text{e}}^{\log x^{x}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\text{e}}^{x\log x}={\text{e}}^{x\log x}(\log x+x{\frac {1}{x}})={\text{e}}^{\log x^{x}}(\log x+1)=x^{x}(\log x+1)$.

Wer das nicht glaubt, der prüfe das Ergebnis mit einem Computeralgebrasystem nach (hier z.B. mit Maxima). Einfach folgenden Ausdruck eingeben und auswerten lassen:

diff(x**x, x);  

Es wird natürlich das händisch ausgerechnete Ergebnis geliefert.

Übung: Berechnen Sie ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}x^{x^{x}}$.

Sinus und Konsius

Wie wir im Kapitel über komplexe Zahlen sahen ist:

$\sin(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$

und

$\cos(x)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$

Die Ableitungen berechnen sich nach den oben angebenen Regeln zu:

${\frac {\mathrm {d} \sin(x)}{\mathrm {d} x}}={\frac {ie^{ix}+ie^{-ix}}{2i}}=\cos(x)$

und

${\frac {\mathrm {d} \cos(x)}{\mathrm {d} x}}={\frac {ie^{ix}-ie^{-ix}}{2}}=-\sin(x)$

Wobei wir im letzten Schritt ${\frac {1}{i}}=i^{3}=-i$ benutzt haben. Ansonsten haben wir mit komplexen Zahlen und Funktionen genauso gerechnet wie mit reellen, aber das dürfen wir auch.

Tangens

Der Tangens ist bekanntlich definert durch: $\tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}$ Die Ableitung ergibt sich nach den obigen Regeln zu ${\frac {\mathrm {d} \tan(x)}{\mathrm {d} x}}={\frac {\cos(x)\cos(x)-\sin(x)(-1)\sin(x)}{\cos ^{2}(x)}}={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}$

Arkusfunktionen

Übung: Leiten Sie die Ableitungen von $\arcsin(x),\arccos(x),\arctan(x)$ her. Lösungshinweis: Diese Funktionen sind Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen.

Höhere Ableitungen

Ist die Ableitung einer Funktion wieder ableitbar, so erhält man höhere Ableitungen. Z.B. ist die Ableitung der ersten Ableitung die zweite Ableitung:

${\frac {d}{dx}}({\frac {d}{dx}}f)={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f={\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}=f''=f^{(2)}$.

Und so geht es weiter mit der dritten Ableitung $f'''$, der vierten Ableitung $f^{(4)}$ usw.

Beispiel: Die 2. Ableitung $f''$ von $f=\sin x$ soll berechnet werden.

$f'={\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x$

$f''={\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x$

Übungen:

• $f=x^{4}$, bestimmen Sie $f^{(4)}$
• $f=a^{3x}$, bestimmen Sie $f'''$
• $f=e^{x}\sin x$, bestimmen Sie $f'''$

Kurvendiskussion

• Bestimme den Definitionsbereich der Funktion ( Definitionsmenge)
• Bestimme, ob die Funktion symmetrisch oder antisymmetrisch ist
• Bestimme die Nullstellen von $f,f',f''$ und somit
  • $f>0\Rightarrow$ Funktion ist positiv
  • $f'>0\Rightarrow$ Funktion ist streng monoton wachsend
  • $f''>0\Rightarrow$ Funktion ist konvex ( Konvexe und konkave Funktionen)
  • $f<0\Rightarrow$ Funktion ist negativ
  • $f'<0\Rightarrow$ Funktion ist streng monoton fallend
  • $f''<0\Rightarrow$ Funktion ist konkav
• Bestimme die Extremstellen ( Extremwert)
  • $f'=0$
  • $f''>0\Rightarrow$ lokales Minimum
  • $f''<0\Rightarrow$ lokales Maximum
• Bestimme die Wendepunkte ( Wendepunkt)
  • $f''=0;\;f'''\neq 0$
• Bestimme ggf. die Pole ( Polstelle)
• Bestimme ggf. die Asymptoten ( Asymptote)

Beispiel: $y={\frac {x-1}{(x+1)^{2}}}$

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Definitionsbereich: $x\in \mathbb {R} \backslash \{-1\}$

Nullstelle(n): $x=1$

Symmetrisch/antisymmetrisch: nein (siehe z.B. den Graphen der Funktion)

Extremstellen: $y'={\frac {2-x}{(x+1)^{3}}};\quad y''={\frac {-1}{(x+1)^{3}}}-{\frac {3(2-x)}{(x+1)^{4}}}$

$y'=0\Rightarrow x=2$

$y''(2)=-{\frac {1}{27}}$; d.h. die Extremstelle bei $x=2$ ist ein Maximum.

Wendepunkte: $y''=0\Rightarrow x={\frac {7}{2}}$; lt. Graphen ist das ein Wendepunkt (ggf. $y'''$ berechnen).

Pol(e): $x=-1$

Siehe auch  Kurvendiskussion.

Übungen: Diskutieren Sie folgende Kurven

• $y=1+x^{\frac {4}{5}}$
• $y=x^{2}\ln x$
• $y=x+{\frac {1}{x}}$

Taylorreihen

$f(x)=f(x_{0})+{\frac {f'(x_{0})}{1!}}(x-x_{0})+{\frac {f''(x_{0})}{2!}}(x-x_{0})^{2}+\dots +{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}+R_{n}(x)$

$R_{n}$ ist das Restglied. Es gibt mehrere Möglichkeiten dieses zu berechnen.

• Schlömilchsche Restgliedformel: $R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{qn!}}(x-x_{0})^{q}(x-\xi )^{n+1-q}$

$q\in \mathbb {N}$ und zwischen 1 und n+1; $\xi$ zwischen $x$ und $x_{0}$

• Lagrangesche Restgliedformel: Für $q=n+1\Rightarrow R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-x_{0})^{n+1}$
• Cauchysche Restgliedformel: Für $q=1\Rightarrow R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{n!}}(x-x_{0})(x-\xi )^{n}$

Im Spezialfall $x_{0}=0$ wird die Taylorreihe auch Maclaurin-Reihe genannt.

• 
  Brook Taylor (1685 - 1731) britischer Mathematiker
• 
  Oscar Xavier Schlömilch (1823 - 1901) deutscher Mathematiker
• 
  Joseph-Louis de Lagrange (1736 - 1813) italienisch-französischer Mathematiker
• 
  Augustin-Louis Cauchy (1789 - 1857) französischer Mathematiker
• 
  Colin Maclaurin (1698 - 1746) schottischer Mathematiker

Beispiel: Wir entwickeln die Taylorreihe um 0 für die Funktion ${\text{e}}^{x}$

$f(x)=f'(x)=f''(x)=\dots ={\text{e}}^{x}$

$f(0)=f'(0)=f''(0)=\dots =1$

${\text{e}}^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\dots +{\frac {x^{n}}{n!}}+R_{n}(x)$

$R_{n}(x)={\frac {{\text{e}}^{\xi }}{(n+1)!}}x^{n+1}$ (lt. Lagrange)

Übungen:

• Berechnen Sie die Taylorreihe um 0 für die Funktion $\sin(x)$
• Berechnen Sie die Taylorreihe um 1 für die Funktion $\log(x)$

Siehe auch  Taylorreihe.

Die Regel von de L'Hospital

• 
  Guillaume François Antoine, Marquis de L’Hospital (1661 - 1704) französischer Mathematiker
• 
  Johann Bernoulli (1667 - 1748) schweizer Mathematiker, der eigentliche Entdecker dieser Regel

 Regel von de L’Hospital: ... Die Regel von de L’Hospital erlaubt es in vielen Fällen, den Grenzwert von Funktionen selbst dann noch zu bestimmen, wenn deren Funktionsterm beim Erreichen der betreffenden Grenze einen unbestimmten Ausdruck wie etwa ${\frac {0}{0}},\quad 0\cdot \infty ,\quad \infty -\infty ,\quad {\frac {\infty }{\infty }},\quad 0^{0},\quad \infty ^{0},\quad 1^{\infty }$ liefert...

Es sei also

$\lim _{x\rightarrow b}f(x)=\lim _{x\rightarrow b}g(x)=0$

oder

$\lim _{x\rightarrow b}f(x)=\pm \infty$ und $\lim _{x\rightarrow b}g(x)=\pm \infty$.

Es gilt dann

$\lim _{x\rightarrow b}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\rightarrow b}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$.

Liefert diese Ableitung noch kein Ergebnis, so kann auch mehrfach abgeleitet werden - bis sich ein bestimmter Ausdruck ergibt.

Beispiel: $\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1-\cos x}{\sin x}}$. Das gibt einen Ausdruck vom Typ ${\frac {0}{0}}$. Leiten wir die Funktionen (im Nenner und im Zähler) einmal ab, so ergibt sich $\lim _{x\rightarrow 0}={\frac {\sin x}{\cos x}}={\frac {0}{1}}=0$.

Beispiel: $\lim _{x\rightarrow 0}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {1}{{\text{e}}^{x}-1}}\right)$ ist vom Typ $\infty -\infty$. Bringen wir das auf gleichen Nenner, so ergibt sich $\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {{\text{e}}^{x}-1-x}{x({\text{e}}^{x}-1)}}$. Das ist vom Typ ${\frac {0}{0}}$. Leiten wir einmal ab, so erhalten wir $\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {{\text{e}}^{x}-1}{{\text{e}}^{x}-1+x{\text{e}}^{x}}}$. Das ist wieder vom Typ ${\frac {0}{0}}$. Nochmals ableiten ergibt $\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {{\text{e}}^{x}}{{\text{e}}^{x}+{\text{e}}^{x}+x{\text{e}}^{x}}}={\frac {1}{2}}$.

Übungen:

• $\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {x}{x-1}}=?$
• $\lim _{x\rightarrow 1}{\frac {\log(x)}{x^{2}-1}}=?$

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