Ing Mathematik: Integralrechnung

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Integration und Differenziation sind Umkehrungen voneinander! Wir wollen das Integral nur grob und näherungsweise definieren:

$\int _{x_{1}}^{x_{n}}f(x)\mathrm {d} x:\approx \sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\cdot f(x_{k})$

Wie man sieht hat jedes Integral einen Integranden. Dieser ist eine Funktion und wird hier mit $f(x)$ bezeichnet. Ferner hat jedes Integral zwei Grenzen. Diese sind Zahlen im Definitionsbereich von $f$ und werden hier mit $x_{1}$ und $x_{n}$ bezeichnet. Auf der rechten Seite steht eine Summe. Dort treten noch $n-2$ weitere Zahlen $x_{k}$ auf. Diese sollen gleichmäßig zwischen $x_{1}$ und $x_{n}$ verteilt sein:

$x_{k}=x_{0}+k{\frac {x_{n}-x_{0}}{n}}$

Die Summe läuft über viele Produkte. Der erste Faktor ist jeweils der Abstand zweier Stützstellen. Und der zweite der Wert den die Funktion an dieser Stützstelle hat. Ihr Produkt ist gleich der Fläche eines Rechtecks mit diesen beiden Größen als Seitenlängen. Die es werden also Flächen aufsummiert Das Integral hat daher anschauliche Bedeutung der Fläche die eine Funktion mit der x-Achse einschließt.

In unserer Definition ergibt sich diese Aussage nur ungefähr. Jedoch kann man sich leicht vorstellen das sich die Summe immer mehr der Fläche unter der Funktion annähert je feiner man die Unterteilung wählt. In der Mathematik kann man dies für hinreichend gutmütige Funktionen sogar exakt beweisen.

Das Intergral so wie wir es hier gesehen haben wird auch bestimmtes Integral genannt:

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Lässt man die obere Integrationsgrenze variabel so erhält man das unbestimmte Integral.

$F_{a}(z):=\int _{a}^{z}f(x)\mathrm {d} x$

Das unbestimmte Integral $F_{a}$ ist im Gegensatz zum bestimmten Integral keine Zahl sondern eine Funktion. Diese hängt von einer Variablen (hier mit $z$ bezeichnet) ab. Der Wert der Funktion an der Stelle $z$ hängt laut dieser Definition von $a$ ab. Für unterschiedliche Werte von $a$ ergeben sich also unterschiedliche Funktionen. Man kann jedoch zeigen, dass sich diese nur um eine additive Konstante unterscheiden, die nicht von $z$ abhängt:

$F_{a_{1}}(z)=F_{a_{2}}(z)+k_{a_{1},a_{2}}$

Die Funktionen $F_{a_{i}}(z)$ haben für unterschiedliches $a_{i}$ den selben Verlauf, sie sind nur um eine Konstante nach oben bzw. nach unten verschoben. Man nennt sowohl $F_{a_{1}}(z)$ als auch $F_{a_{2}}(z)$ Stammfunktion von $f$. Die Stammfunktion von $f$ ist also nur bis auf eine additive Konstante definiert. Es gibt viele Stammfunktionen von $f$ die sich alle nur um eine additive Konstante unterscheiden. Jede dieser Stammfunktionen bezeichnet man mit $F$. Man schreibt auch:

$\int f(x)\mathrm {d} x:=F$

Und spricht dann vom unbestimmten Integral der Funktion $f$. Wobei man immer im Kopf haben sollte, dass diese Definition nur bis auf eine additive Konstante genau ist weswegen man auch manchmal schreibt.

$\int f(x)\mathrm {d} x=F+c$

$F$ ist eine Funktion. Diese hängt von einer Variablen ab. Wir haben diese bislang mit $z$ bezeichnet und $F(z)$ geschrieben. Im Folgenden wollen wir der üblichen Konvention folgen und sie $x$ nennen und somit $F(x)$ schreiben. Eine wichtige Eigenschaft der Stammfunktion ist der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung.

Der Integralbegriff, wie wir ihn hier verwenden, geht auf Bernhard Riemann ( Riemannsches Integral) zurück. Verallgemeinerungen dieses Integrals, wie das  Lebesgue-Integral oder das  Stieltjesintegral, werden hier nicht behandelt.

• 
  Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866) deutscher Mathematiker
• 
  Henri Léon Lebesgue (1875 - 1941) französischer Mathematiker
• 
  Thomas Joannes Stieltjes (1856 - 1894) niederländischer Mathematiker
• 
  blau ... Riemann-Integral; rot ... Lebesgue-Integral

Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}F(x)=f(x)$

und daraus:

$\mathrm {d} F(x)=f(x)\,{\mathrm {d} }x$

$\int _{a}^{b}\mathrm {d} F(x)=\int _{a}^{b}f(x)\,{\mathrm {d} }x$

$\int _{a}^{b}f(x)\,{\mathrm {d} }x=F(b)-F(a)={\Big [}F(x){\Big ]}_{a}^{b}$

Rechenregeln

Grundintegrale

Da die Integralrechnung die Umkehrung der Diffentialrechnung ist, lässt sich einfach eine  Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen aufstellen. Auch in Formelsammlungen finden sich in der Regel ausführliche Integraltafeln (siehe z.B. Bronstein et al.: Taschenbuch der Mathematik; Europa Verlag oder Bartsch, Sachs: Taschenbuch mathematischer Formeln für Ingenieur- und Naturwissenschaften; Hanser Verlag)

Übungen: Berechnen Sie folgende Integrale

• $\int x^{4}\;\mathrm {d} x$
• $\int x^{3}{\sqrt {x}}\;\mathrm {d} x$
• $\int \sin(x)\;\mathrm {d} x$
• $\int \arctan(x)\;\mathrm {d} x$
• $\int \log(x)\;\mathrm {d} x$

Es gilt auch die Linearität der Integralrechnung:

$\int (u+v)\;\mathrm {d} x=\int u\;\mathrm {d} x+\int v\;\mathrm {d} x$

und

$\int (cu)\;\mathrm {d} x=c\int u\;\mathrm {d} x$; $c$ sei eine Konstante $\in \mathbb {R}$.

Übungen:

• Beweisen Sie die Linearität der Integralrechnung.
• Berechnen Sie $\int (x^{3}+5x^{2}-7)\;\mathrm {d} x$
• Berechnen Sie $\int (x^{4}-1)^{2}\;\mathrm {d} x$
• Berechnen Sie $\int {\frac {x^{3}-2x}{x}}\;\mathrm {d} x$
• Berechnen Sie $\int 3\sin(x)\;\mathrm {d} x$

Substitutionsmethode

Diese Methode wird hier anhand eines Beispiels eingeführt:

$\int \sin(3x)\mathrm {d} x=?$

Wir substituieren (ersetzen) $u=3x$ und differenzieren diese Funktion: ${\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}=3$. Umgeformt erhalten wir $\mathrm {d} x={\frac {\mathrm {d} u}{3}}$. Nun setzen wir dies ein:

$\int \sin(3x)\mathrm {d} x=\int \sin(u){\frac {\mathrm {d} u}{3}}={\frac {1}{3}}\int \sin(u)\mathrm {d} u$.

Und schon haben wir ein elementares Integral, das einfach zu lösen ist.

${\frac {1}{3}}\int \sin(u)\mathrm {d} u=-{\frac {1}{3}}\cos(u)$

Jetzt rücksubstituieren wir und erhalten so (auf die Integrationskonstante nicht vergessen!)

$-{\frac {1}{3}}\cos(u)=-{\frac {1}{3}}\cos(3x)+C=\int \sin(3x)\mathrm {d} x$

Übungen: Berechnen Sie

• $\int e^{-5x}\;\mathrm {d} x$
• $\int \sin(3x-10)\;\mathrm {d} x$

Partielle Integration

Die Produktregel der Differentialrechnung soll in eine Produktregel der Integralrechnung umgeformt werden. Dies führt auf die partielle Integration oder Produktintegration.

$(uv)'=u'v+uv'$

${\frac {\mathrm {d} (uv)}{\mathrm {d} x}}=u'v+uv'$

$\mathrm {d} (uv)=(u'v+uv')\mathrm {d} x$

$\int \mathrm {d} (uv)=uv=\int (u'v\mathrm {d} x+uv'\mathrm {d} x)=\int u'v\mathrm {d} x+\int uv'\mathrm {d} x$

Umstellung:

$\int u\overbrace {v'\mathrm {d} x} ^{\mathrm {d} v}=uv-\int v\overbrace {u'\mathrm {d} x} ^{\mathrm {d} u}$

Beispiel:

$\int x\mathrm {e} ^{x}\mathrm {d} x=?$

Man wählt sinnvollerweise $u=x$ und $dv=\mathrm {e} ^{x}\mathrm {d} x$. Dies führt auf $du=dx$ und $v=\int \mathrm {e} ^{x}\mathrm {d} x=\mathrm {e} ^{x}$. Setzen wir das ein, so erhalten wir folgende Formel. Man sieht, dass jetzt direkt integriert werden kann.

$\int u\mathrm {d} v=uv-\int v\mathrm {d} u$

$\int x\mathrm {e} ^{x}\mathrm {d} x=x\mathrm {e} ^{x}-\int \mathrm {e} ^{x}\mathrm {d} x=x\mathrm {e} ^{x}-\mathrm {e} ^{x}+C=(x-1)\mathrm {e} ^{x}+C$

Übungen: Man berechne mittels partieller Integration

• $\int x\cos x\;\mathrm {d} x$
• $\int x\ln(x)\,\mathrm {d} x$

Rationale Funktionen

Rationale Funktionen sehen folgendermaßen aus:

$f(x)={\frac {a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}}{b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +b_{1}x+b_{0}}}={\frac {P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}}$

Es sollen also folgende Integrale gelöst werden:

$\int f(x)\mathrm {d} x=\int {\frac {a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}}{b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +b_{1}x+b_{0}}}\mathrm {d} x$

Dazu sind folgende Schritte zu absolvieren:

1. Ggf.  Partialbruchzerlegung
2. Integration: Siehe z.B. Integraltafeln im Bronstein.

Beispiel:

$I=\int {\frac {x^{2}-x+5}{x-1}}\mathrm {d} x=?$

$(x^{2}-x+5):(x-1)=x+{\frac {5}{x-1}}$

$I=\int (x+{\frac {5}{x-1}})\mathrm {d} x={\frac {x^{2}}{2}}+5\log |x-1|+C$

Übungen: Berechnen Sie

• $I=\int {\frac {x^{3}+2}{x-1}}\mathrm {d} x$
• $I=\int {\frac {x}{x-1}}\mathrm {d} x$

Beispiel:

$I=\int {\frac {x+1}{x^{2}-x-2}}\mathrm {d} x=?$

Nullstellen des Nenners (= Polstellen) bestimmen:

$x^{2}-x-2=0$

$x_{1,2}={\frac {1}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {1}{4}}+2}}={\frac {1}{2}}\pm {\frac {3}{2}}$

$x_{1}=2;\quad x_{2}=-1$

${\frac {x+1}{x^{2}-x-2}}={\frac {x+1}{(x+1)(x-2)}}={\frac {1}{x-2}}$ für $x\neq -1$

$\int {\frac {1}{x-2}}\mathrm {d} x=\log |x-2|+C$ (z.B. mittels Substitution)

Beispiel:

$I=\int {\frac {x+2}{x^{2}-x-2}}\mathrm {d} x=?$

Die Polstellen sind schon aus vorherigem Beispiel bekannt.

${\frac {x+2}{x^{2}-x-2}}={\frac {x+2}{(x+1)(x-2)}}$

${\frac {A}{x+1}}+{\frac {B}{x-2}}={\frac {Ax-2A+Bx+B}{(x+1)(x-2)}}={\frac {x(A+B)+(B-2A)}{(x+1)(x-2)}}$

Nun führen wir einen Koeffizientenvergleich durch

${\frac {x(A+B)+(B-2A)}{(x+1)(x-2)}}={\frac {x+2}{(x+1)(x-2)}}$

$A+B=1;\;B-2A=2$

$A=-{\frac {1}{3}};\;B={\frac {4}{3}}$

und erhalten damit folgendes Integral:

$I=\int {\begin{pmatrix}{\frac {-{\frac {1}{3}}}{x+1}}+{\frac {\frac {4}{3}}{x-2}}\end{pmatrix}}\mathrm {d} x$

Das führt also auf simple Integrale, die wir hier nicht erneut ausrechnen wollen. Man substituiere einfach und erhält somit wieder Logarithmen.

Beispiel: Und nun ein etwas anspruchsvolleres Integral

$I=\int {\frac {2x+1}{x^{3}+x+2}}\mathrm {d} x=?$

Polstellen:

$x_{1}=-1$ (durch probieren)

$(x^{3}+x+2):(x+1)=x^{2}-x+2$

$x_{2,3}={\frac {1}{2}}\pm i{\sqrt {\frac {7}{4}}}$

D.h. wir haben 1 einfache reelle Polstelle und 2 einfache konjugiert komplexe. Für die reelle Polstelle kennen wir schon den Ansatz. Für einfache konjugiert komplexe Polstellen wird nun der Ansatz wie folgt ergänzt:

${\frac {A}{x+1}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}-x+2}}$

$A(x^{2}-x+2)+(Bx+C)(x+1)$

$Ax^{2}-Ax+2A+Bx^{2}+Cx+Bx+C=x^{2}(A+B)+x(-A+B+C)+(2A+C)=2x+1$

$A+B=0;\;-A+C+B=2;\;2A+C=1\Rightarrow A=-{\frac {1}{4}};\;B={\frac {1}{4}};\;C={\frac {3}{2}}$

$I=\int {\begin{pmatrix}{\frac {\frac {-1}{4}}{x+1}}+{\frac {{\frac {1}{4}}x+{\frac {3}{2}}}{x^{2}-x+2}}\end{pmatrix}}\mathrm {d} x$

Für diese Integrale gibt es Formeln zwecks Auflösung (siehe z.B. Burg, Haf, Wille, Meister: Höhere Mathematik für Ingenieure - Band I: Analysis; Springer, 9.Auflage, 2011, Seite 324f). Auch für mehrfache Polstellen gibt es Lösungen. Siehe dazu z.B. Bronstein oder das genannte Burg, Haf, Wille, Meister-Buch. Wir wollen es hiermit dabei belassen und auch auf die Möglichkeit des Einsatzes von Computeralgebrasystemen hinweisen (siehe z.B. Computeralgebrasysteme am Beispiel von Maxima). Nachfolgend die Lösung dieses Integrals (mit Maxima berechnet):

Uneigentliche Integrale

Wird der Integralbegriff auf unbeschränkte Intervalle oder unbeschränkte Funktionen ausgeweitet, so kommt man in den Bereich der uneigentlichen Integrale.

Beispiel: Eine Integrationsgrenze geht gegen $\infty$

$\int _{0}^{\infty }e^{-x}\mathrm {d} x=\lim _{t\rightarrow \infty }\int _{0}^{t}e^{-x}\mathrm {d} x$

Das Integral $\int _{0}^{t}e^{-x}\mathrm {d} x$ kann aber einfach bestimmt werden (z.B. mittels Substitution oder Integraltafel):

$\int _{0}^{t}e^{-x}\mathrm {d} x=1-\mathrm {e} ^{-t}$

Somit ist

$\int _{0}^{\infty }e^{-x}\mathrm {d} x=\lim _{t\rightarrow \infty }\int _{0}^{t}e^{-x}\mathrm {d} x=\lim _{t\rightarrow \infty }(1-\mathrm {e} ^{-t})=1$

Beispiel: Der Integrand sei unbeschränkt

$\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x}}}=?$

Hier geht die Funktion gegen unendlich (Division durch 0). Somit liegt auch hier kein gewöhnliches (Riemann)-Integral vor, sondern ein uneigentliches. Gelöst werden kann dieses Dilemma formal wiederum mit einer Grenzwertbildung.

$\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x}}}=\lim _{t\rightarrow 0}\int _{t}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {x}}}=\lim _{t\rightarrow 0}\left[2{\sqrt {x}}\right]_{t}^{1}=\lim _{t\rightarrow 0}\left[2{\sqrt {1}}-2{\sqrt {t}}\right]=2$

Integralfunktionen

Exponentialintegral

$\operatorname {Ei} (x)=\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t=-\int _{-x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t$

Integrallogarithmus

$\operatorname {Li} (x)=\int _{0+}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\ln t}}$

Integralsinus

$\operatorname {Si} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,\mathrm {d} t$

Integralkosinus

${\rm {Ci}}(x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cos t-1}{t}}\,dt=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,dt$

Dabei ist $\gamma =0,577215...$ die  Euler-Mascheroni-Konstante.

Fehlerintegral

$\operatorname {erf} (a,b)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{a}^{b}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t$

Gammafunktion

$\Gamma (z)=\int _{0+}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\mathrm {d} t$

$\Gamma (n)=(n-1)!$

$\Gamma (z+1)=\Gamma (z)\cdot z$

Elliptische Integrale

In der Literatur werden die elliptischen Integrale leicht unterschiedlich definiert.

Elliptische Integrale in legendrescher Form:

1. Art (oder Gattung): $\int {\frac {{\text{d}}\vartheta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\vartheta }}}$

2. Art (oder Gattung): $\int {\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\vartheta }}\;{\text{d}}\vartheta$

3. Art (oder Gattung): $\int {\frac {{\text{d}}\vartheta }{(1-n\sin ^{2}\vartheta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\vartheta }}}}$

Die Lösung elliptischer Integrale ist nicht ganz trivial. Bei Bedarf siehe man dazu z.B. das entsprechende Kapitel im Bronstein et al.: Taschenbuch der Mathematik und die dortigen Tafeln im Tabellenteil. Es sei aber auch auf den Artikel  Elliptische Integrale in Wikipedia verwiesen.

Für Beispiele zu den elliptischen Integralen siehe z.B.  Elliptische_Integrale#Anwendungsbeispiele.

Sonstige Bemerkungen

• Differenzieren kann man immer. Analytisches Integrieren ist oft nicht möglich. Man muss dann auf numerische Verfahren ausweichen. Dies wird später in dieser Buchreihe gezeigt (Ing Mathematik: Numerische Berechnung bestimmter Integrale).

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