MathemaTriX ⋅ Aufgaben. Differentialrechnung

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Mathe lernen ist wie Fahrradfahren lernen: Du kannst es dir stundenlang erklären lassen, du wirst nie fahren können, wenn du nicht selber zu fahren probierst.

Inhalt
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AUFGABEN

KAPITEL

Grundrechenarten Bruchrechnungen	$-{\tfrac {\cdot \ +}{\ :\ }}$
Schlussrechnung Prozentrechnung
Exponentialfunktion Logarithmus
Arbeiten mit Termen	$\mathbb {X} ^{2}$
Zahlendarstellungen Mengentheorie Aussagenlogik	${\begin{matrix}\mathbb {R} :=\\\mathbb {Q} \cup \mathbb {I} \end{matrix}}$
Einheiten	$cm^{2}$
Statistik und Wahrscheinlichkeit
Geometrische Konstruktionen
Geometrie der Ebene
Geometrie des Raums
Diagramme
Funktionen	$f(x)$
Lineare Gleichungssysteme	${\begin{smallmatrix}{a_{1}\ b_{2}}\\{a_{2}\ b_{2}}\end{smallmatrix}}$
Trigonometrische Funktionen
Vektoren
Differentialrechnung	$^{dy}/_{dx}$
Integralrechnung	$\textstyle \int _{a}^{b}dx$
Folgen	$a_{n}$
Beweise	$a\rightarrow b$

Differenzenquotient

Grenzwerte

Die Ableitung einer Funktion

Die Ableitung als Steigung einer Funktion

Berechnen Sie die Ableitungsfunktion der folgenden Funktionen. Wie viel ist die Ableitung der jeweiligen Funktion an der Stelle 2?

$b(v)=7\ v^{5}\quad$
$x(y)=y^{9}\quad$
$f(x)={\frac {5}{12}}x^{12}$

$\ b(v)=7\ \sin v-\ln v+{\frac {3}{5\ v^{3}}}+3$
$\ v(t)={\frac {5}{\sqrt[{4}]{t^{3}}}}-\cos t+t-t^{-3}$
$\ t(b)=5\ e^{b}-{\sqrt[{3}]{\frac {27}{b^{7}}}}+\tan b\quad$

Antwort

$\ 35u^{4}$
$9y^{8}\quad$
$5x^{11}$
$\ b'(v)=7\cos v-{\frac {1}{v}}-{\frac {9}{5}}\ v^{-4}$ $\qquad b(2{,}4)\approx 6{,}90\qquad b'(2{,}4)\approx -2{,}45$
$\ v'(t)={-{\frac {15}{4}}}\ t^{-{\frac {7}{4}}}+\sin t+1+3\ t^{-4}\$ $\qquad v(2{,}4)\approx 5{,}66\qquad v'(2{,}4)\approx 0{,}956$
$\ t'(b)=5\ e^{b}+{7}\ b^{-{\frac {10}{3}}}+{\frac {1}{\cos ^{2}b}}\quad$ $\qquad t(2{,}4)\approx 53{,}8\qquad t'(2{,}4)\approx 57{,}3$

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Einheiten der Ableitung

Mathematrix: Aufgabensammlung/ Einheiten der Ableitung

Ableitung und Grenzwerten

Mit Hilfe von Grenzwerten berechnen Sie die Ableitung
der Funktion $y=ax^{4}$ !

Antwort

hier klicken

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Ableitung von Potenzfunktionen

Berechnen Sie die Ableitungsfunktion der folgenden Funktionen. Wie viel ist die Ableitung der jeweiligen Funktion an der Stelle 2?

$b(v)=7\ v^{5}\quad$
$x(y)=y^{9}\quad$
$f(x)={\frac {5}{12}}x^{12}$

Antwort

$\ 35u^{4}$
$9y^{8}\quad$
$5x^{11}$

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Ableitung von Potenzfunktionen komplex

Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen.

$a(c)=b\ \left({\frac {1}{c}}\right)^{d}$
$v(t)={\sqrt[{4}]{t^{3}}}\quad$
$f(x)={\frac {5}{x^{5}}}\quad$

Antwort

$-b\,d\,c^{-(d+1)}$
${\frac {3}{4}}t^{-{\frac {1}{4}}}\left(={\frac {3}{4}}\,{\sqrt[{4}]{t\ }}\right)\quad$
$-25x^{-6}\left(=-{\frac {25}{x^{6}}}\right)$

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Ableitung von Potenzfunktionen schwierig

Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen.

$V(h)={\sqrt[{4}]{\frac {1}{h^{5}}}}$
$H(x)={\sqrt[{3}]{\frac {27}{x^{7}}}}$
$m(n)={\sqrt[{5}]{\frac {3125}{n^{15}}}}$

Antwort

$\ -{\frac {5}{4}}h^{-{\frac {9}{4}}}\left(=-{\frac {5}{4}}\,{\sqrt[{4}]{h^{9}\ }}\right)$
$\ -7x^{-{\frac {10}{3}}}\left(=-{\frac {7}{\sqrt[{3}]{x^{10}\ }}}\right)\quad$
$-15n^{-4}\left(=-{\frac {15}{n^{4}}}\right)$

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Ableitungen von weiteren Funktionen

Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen.
Berechnen Sie auch den ungefähren Wert der Funktion
und ihrer Ableitung an der Stelle 2,4.

$\ b(v)=7\ \sin v-\ln v+{\frac {3}{5\ v^{3}}}+3$
$\ v(t)={\frac {5}{\sqrt[{4}]{t^{3}}}}-\cos t+t-t^{-3}$
$\ t(b)=5\ e^{b}-{\sqrt[{3}]{\frac {27}{b^{7}}}}+\tan b\quad$

Antwort

$\ b'(v)=7\cos v-{\frac {1}{v}}-{\frac {9}{5}}\ v^{-4}$ $\qquad b(2{,}4)\approx 6{,}90\qquad b'(2{,}4)\approx -2{,}45$
$\ v'(t)={-{\frac {15}{4}}}\ t^{-{\frac {7}{4}}}+\sin t+1+3\ t^{-4}\$ $\qquad v(2{,}4)\approx 5{,}66\qquad v'(2{,}4)\approx 0{,}956$
$\ t'(b)=5\ e^{b}+{7}\ b^{-{\frac {10}{3}}}+{\frac {1}{\cos ^{2}b}}\quad$ $\qquad t(2{,}4)\approx 53{,}8\qquad t'(2{,}4)\approx 57{,}3$

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Weitere Ableitungsregeln

Ableitungsregeln

Wie lautet die 1. Ableitung der Funktion
$g(a)=a^{2}\ {\sqrt[{4}]{\cos ^{3}a\ }}$
(Mit Lösungsschritte!)

Antwort

2x{\sqrt[{4}]{\cos ^{3}x}}-{\tfrac {3}{4}}x^{2}\sin x\cos ^{-{\tfrac {1}{4}}}x

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Kurvendiskussion

Ermittlung einer quadratischen Funktion

Eine quadratische Funktion geht durch die Punkte
$\ P_{1}:(3|5)\$ und $\ P_{2}:(1{,}5|4{,}5)$ . Ihre Ableitung
an der Stelle 2 ist null. Wie lautet die Funktion?

Antwort

Q(x)={\frac {2}{3}}x^{2}-{\frac {8}{3}}x+7

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Kurvendiskussion

Gegeben ist die Funktion $v(b)=b^{2}\sin b+1$
im Intervall $]-4;4[$ .

Welche sind die lokale Extrempunkte,
die Wendepunkte und die Sattelpunkte
der Funktion?
Welche sind die Nullstellen der Funktion?
Wie viel ist ihre Wert und der Wert ihrer
Ableitung an der Stelle 1,2?
Wie ist ihr Monotonieverhalten?

Antwort

Extrempunkte: $(-2{,}29|-2{,}95),\ (2{,}29|4{,}95)$
Sattelpunkte: $(0|1)$
Weitere Wendepunkte: $(-4{,}0|13{,}0),\ (-1{,}5|-1{,}31),\ (1{,}5|3{,}3),\ (4{,}0|11{,}0)$
Nullstellen: $-3{,}03;\ -1{,}07;\ 3{,}24$
$v(1{,}2)=2{,}34\quad v'(1{,}2)=2{,}76$
$]-4;-2{,}29[\ \rightarrow \ fallend,\quad$ $]-2{,}29;0[\ \rightarrow \ steigend,\quad$ $]0;2{,}29[\ \rightarrow \ steigend,\quad$ $]2{,}29;4[\ \rightarrow \ fallend\quad$

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Kurvendiskussion Umkehraufgaben

Temperatur (°C):	$4$	$5$	$1$
Höhe (dm):	$\ \ 3\ \$	$\ \ 3{,}4\ \$	$\ \ 0\ \$

In einem Diagramm wird die Temperatur in Abhängigkeit von der Höhe in einem kleineren Kühlschrank gezeigt. Aus dem Diagramm werden die Werte in der nebenstehenden Tabelle entnommen. Die entsprechende Polynomfunktion 3. Grades hat an der Stelle 3,4 einen Extrempunkt.

Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten der Funktion.
Berechnen Sie die Koeffizienten der Funktion.

Wie lautet die Funktion?

Antwort

$\ \left|{\begin{array}{l}\circ \quad 4=a\cdot 3^{3}+b\cdot 3^{2}+c\cdot 3+d\\\circ \quad 5=a\cdot 3{,}4^{3}+b\cdot 3{,}4^{2}+c\cdot 3{,}4+d\\\circ \quad 1=a\cdot 0^{3}+b\cdot 0^{2}+c\cdot 0+d\\\circ \quad 0=3\cdot a\cdot 3{,}4^{2}+2\cdot b\cdot 3{,}4+c\end{array}}\right.\$
$\ a\approx -1{,}968\quad b\approx 13{,}0\quad c\approx -20{,}4\quad d=1\$
$\ s(x)=-x^{2}+12\ x-32\$

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Differenzenquotient

Grenzwerte

Die Ableitung einer Funktion

Die Ableitung als Steigung einer Funktion

Einheiten der Ableitung

Ableitung und Grenzwerten

Ableitung von Potenzfunktionen

Ableitung von Potenzfunktionen komplex

Ableitung von Potenzfunktionen schwierig

Ableitungen von weiteren Funktionen

Weitere Ableitungsregeln

Ableitungsregeln

Die Kettenregel

Die Produktregel

Die Quotientenregel

Kurvendiskussion

Ermittlung einer quadratischen Funktion

Kurvendiskussion

Kurvendiskussion Umkehraufgaben