MathemaTriX ⋅ Aufgaben. Trigonometrische Funktionen

STOPP PUSHBACKS • FREE ASSANGE • FRIEDEN AUF DER WELT

${\color {white}\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}$	DEINE FESTE BEGLEITERIN
	FÜR DIE SCHULMATHEMATIK

EINFACH UND
VERSTÄNDLICH

GRATIS!^*

STARTEN!

MIT MEHR ALS 200 THEORIE- UND AUFGABEN-ERKLÄRUNGS VIDEOS!

Mathe lernen ist wie Fahrradfahren lernen: Du kannst es dir stundenlang erklären lassen, du wirst nie fahren können, wenn du nicht selber zu fahren probierst.

Inhalt
Ein-Aus-
klappen

AUFGABEN

KAPITEL

Grundrechenarten Bruchrechnungen	$-{\tfrac {\cdot \ +}{\ :\ }}$
Schlussrechnung Prozentrechnung
Exponentialfunktion Logarithmus
Arbeiten mit Termen	$\mathbb {X} ^{2}$
Zahlendarstellungen Mengentheorie Aussagenlogik	${\begin{matrix}\mathbb {R} :=\\\mathbb {Q} \cup \mathbb {I} \end{matrix}}$
Einheiten	$cm^{2}$
Statistik und Wahrscheinlichkeit
Geometrische Konstruktionen
Geometrie der Ebene
Geometrie des Raums
Diagramme
Funktionen	$f(x)$
Lineare Gleichungssysteme	${\begin{smallmatrix}{a_{1}\ b_{2}}\\{a_{2}\ b_{2}}\end{smallmatrix}}$
Trigonometrische Funktionen
Vektoren
Differentialrechnung	$^{dy}/_{dx}$
Integralrechnung	$\textstyle \int _{a}^{b}dx$
Folgen	$a_{n}$
Beweise	$a\rightarrow b$

Definition von Sinus Kosinus und Tangens

Geben Sie Sinus, Kosinus und Tangens des kleinsten
Winkels im folgenden rechtwinkeligen Dreieck an!

Wie groß sind die entsprechenden Werte, wenn
a= 0,06 m und b= 10 cm sind?

Antwort

\sin \alpha ={\frac {a}{b}}={\frac {3}{5}}\quad \cos \alpha ={\frac {c}{b}}={\frac {4}{5}}\quad \tan \alpha ={\frac {a}{c}}={\frac {3}{4}}

$\$	$\$
	$\ \$
	$\$

Trigonometrische Satz von Pythagoras

Pythagoras Satz in Trigonometrie Abstrakt

Beweisen Sie mit Hilfe der Definitionen der trigonometrischen
Funktionen in einem rechtwinkeligem Dreieck! $\quad \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$

Antwort

a^{2}+b^{2}=c^{2}\ \rightarrow \ c^{2}\ \sin ^{2}\alpha +c^{2}\cos ^{2}\alpha =c^{2}\ \rightarrow \

c^{2}\ (\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha )=c^{2}\ \rightarrow \ \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1

$\$	$\$
	$\$
	$\$

Pythagoras Satz in Trigonometrie Konkret

Die kleinere Kathete eines rechtwinkeligen Dreiecks ist 20 cm,
die größere 2,1 dm. Wie viel ist der Tangens, der Sinus und der
Kosinus des kleinsten Winkels? Wie groß ist dieser Winkel? Wie
viel ist der Kosinus des anderen nicht rechten Winkels und wie
groß der andere Winkel?

Antwort

\tan \alpha ={\tfrac {20}{21}}\quad \sin \alpha =cos\beta ={\tfrac {20}{29}}\quad \cos \alpha ={\tfrac {21}{29}}

\alpha \approx 43{,}60^{\circ }\quad \beta \approx 46{,}40^{\circ }

$\$	$\$
	$\$
	$\$

Trigonometrische Umkehrfunktionen

\textstyle {\frac {5}{13}}

Wie viel ist der Kosinus?
Wie groß ist der Winkel?
Wie groß ist die Hypotenuse eines rechtwinkeligen
Dreiecks, wenn die Gegenkathete des Winkels
mit Sinus $\textstyle {\frac {5}{13}}\$ 9 cm ist?

Schreiben Sie eine Formel für den Winkel $\omega$ in Bezug auf die Seiten b und c auf! Wie groß ist der Winkel, wenn b=37 cm und c=200 mm sind?
Die Steigung eines Winkels ist 230%. Wie groß ist der Winkel?

Antwort

$\cos ={\frac {12}{13}}$
$\theta \approx 22{,}62^{\circ }$
$23{,}4\ cm$
$\omega =\arccos \left({\tfrac {c}{b}}\right)\approx 57{,}28^{\circ }$
$ca.\ 66{,}5^{\circ }$

$\$	$\$
	$\ \$
	$\$

Einheitskreis

Einheitskreis und trigonometrische Funktionen

Mit Hilfe des Einheitskreises finden sie zumindest vier Winkel, deren

i) Sinus 0,3 ist.

\quad

ii) Kosinus 0,3 ist.

Antwort

$\$	$\$
	$\ \$
	$\$

Radiant

Rechnen Sie in Grad ° (Winkelmaß) um!
A) $\ 3\pi \ rad$ , B) $\ {\frac {5\pi }{9}}\ rad$ , C) $\ 0{,}2\ rad$ , D) $\ {\frac {5}{9\pi }}\ rad$ , E) $\ 360\ rad$
Rechnen Sie in Radiants (Bogenmaß) um
A) $\ 300^{\circ }$ , B) $\ 0{,}2^{\circ }$ , C) $\ 3\pi ^{\circ }$ , D) $\ {\frac {170}{9\pi }}^{\circ }$ , E) $\ 145^{\circ }$
Sind folgende Winkel mehr oder weniger als ein Halbkreis?
Wo befinden sie sich im Einheitskreis?
A) $\ 300^{\circ }$ , B) $\ 100^{\circ }$ , C) $\ 2\ rad$ , D) $\ 1\ rad$ , E) $\ 390^{\circ }$

Antwort

A) $\ 540^{\circ },\quad$ B) $\ 100^{\circ },\quad$ C) $\ ca.\ 11{,}5^{\circ },\quad$ D) $\ ca.\ 10{,}1^{\circ },\quad$ E) $\ ca.\ 20626^{\circ }\quad$
A) $\ ca.\ 5{,}24\ rad,\quad$ B) $\ ca.\ 0{,}0035\ rad,\quad$ C) $\ ca.\ 0{,}164\ rad,\quad$ D) $\ 0{,}105\ rad,\quad$ E) $\textstyle \ {\frac {3\pi }{4}}\ rad\quad$
A) 4.Q $\quad$ B) 2.Q $\quad$ C) 2.Q $\quad$ D) 1.Q $\quad$ E) 1.Q aber mehr als Halbkreis!

$\$	$\$
	$\ \$
	$\$

Einheitskreis wichtige Punkte

Beoboachten Sie die Figur und entscheiden Sie!

In welchem Quadrant des Kreises ist der Sinus,
der Kosinus und der Tangens positiv oder negativ?
Bei welchem Winkel ist der Sinus 0, 1 oder -1? Geben Sie diesen Winkel
sowohl in Grad als auch in Radiants an!

Antwort

Sinus + in 1. & 2. Q., Kosinus + in 1. & 4. Q., Tangens + in 1. & 3. Q.
$\sin x=0\Leftrightarrow x=n\cdot \pi \ rad=n\cdot \ 180^{\circ },\ n\in \mathbb {Z}$
$\sin x=1\Leftrightarrow x=\left(2\,n\cdot \pi +\textstyle {\frac {\pi }{2}}\right)\ rad=n\cdot \ 360^{\circ }+90^{\circ },\ n\in \mathbb {Z}$
$\sin x=-1\Leftrightarrow x=\left(2\,n\cdot \pi -\textstyle {\frac {\pi }{2}}\right)\ rad=n\cdot \ 360^{\circ }-90^{\circ },\ n\in \mathbb {Z}$

$\$	$\$
	$\ \$
	$\$

Trigonometrische Funktionen Diagramm

Parameter im Diagramm der Sinusfunktion

Vergleichen Sie die Kurven im Bild.
Welche Funktion hat die größte bzw.
kleinste Amplitude und wie viel sind
diese?

Vergleichen Sie die Kurven im Bild.
Welche ist die Sinusfunktion,
wenn die Phasenverschiebung 0 ist?
Wie viel ist die Phasenverschiebung
der anderen Funktion?

Vergleichen Sie die Kurven im Bild.
Welche ist die Tangens-, die Sinus-
bzw. die Kosinusfunktion?

Allgemeine Wellenfunktion:
$f(x)=A_{0}\,\sin(\omega \,x+\phi )+c$
Geben Sie die Amplitude, die senkrechte
Verschiebung, die Winkelfrequenz und
die Phasenverschiebung der
dargestellten Sinusfunktion an!

Antwort

blau 1,1; rot 0,6
rot, ?
Blau sin, Orange cos, grün tan
$A0=2{,}4,\ \omega =3,\ c=0{,}4,\ \phi =0$

$\$	$\$
	$\$
	$\$

Sinus und Kosinussatz

Direkte Anwendung des Sinus und des Kosinussatzes

In der folgenden Figur betragen die Seiten
$a={\sqrt {20}}\ cm,\ b=5\ cm,\ d={\sqrt {5}}\ cm$ und die Winkel
$\beta =45^{\circ },\ \gamma =76^{\circ }$ .

Wie viel ist der Winkel $\phi$ ?

Antwort

125{,}93^{\circ }

$\$	$\$
	$\$
	$\$

Vermessungsaufgaben

Lisa beobachtet die Antenne auf dem Dach eines Gebäudes.
Ihre Augen sind 1,73 m hoch, die Antenne selber ist 2,8 m hoch.
Den unteren Rand der Antenne sieht Lisa unter
einem Höhenwinkel von 67°, den oberen unter 74°.
Wie weit vom Gebäude (genauer: vom "Fuß" der Antenne)
befindet sich Lisa und wie hoch ist das Gebäude?
Machen Sie eine saubere Skizze für die Berechnung!

Antwort

h\approx 7{,}56\ m,\quad d\approx 2{,}47\ m

$\$	$\$
	$\$
	$\$

BILDERVERZEICHNIS

ÖFFNE DEIN HORIZONT!
LERNE MIT MATHEMATRIX!

\quad

\quad

\quad

$\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix$
LOGO	CH DE AT

SPENDEN
Der Hauptautor ggf. das Team verdient zwar nicht viel, braucht allerdings dein Geld eigentlich nicht. Wenn du aber doch meinst, dass gute Arbeit belohnt werden soll und dieses Projekt gut findest, kannst du immer in diesem Link spenden. Das ist allerdings vielleicht die einzige Einrichtung mit völliger Transparenz, wo du genau weißt, was mit deinem Geld passiert.