MathemaTriX ⋅ Theorie. Zahlendarstellungen Mengentheorie und Aussagenlogik

Hoch

STOPP PUSHBACKS • FREE ASSANGE • FRIEDEN AUF DER WELT ${\color {white}\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}$ DEINE FESTE BEGLEITERIN FÜR DIE SCHULMATHEMATIK EINFACH UND VERSTÄNDLICH GRATIS!* MIT MEHR ALS 200 THEORIE- UND AUFGABEN-ERKLÄRUNGS VIDEOS! Mathe lernen ist wie Fahrradfahren lernen: Du kannst es dir stundenlang erklären lassen, du wirst nie fahren können, wenn du nicht selber zu fahren probierst.

Inhalt Ein-Aus- klappen

AUFGABEN

KAPITEL Grundrechenarten Bruchrechnungen $-{\tfrac {\cdot \ +}{\ :\ }}$ Schlussrechnung Prozentrechnung Exponentialfunktion Logarithmus Arbeiten mit Termen $\mathbb {X} ^{2}$ Zahlendarstellungen Mengentheorie Aussagenlogik ${\begin{matrix}\mathbb {R} :=\\\mathbb {Q} \cup \mathbb {I} \end{matrix}}$ Einheiten $cm^{2}$ Statistik und Wahrscheinlichkeit Geometrische Konstruktionen Geometrie der Ebene Geometrie des Raums Diagramme Funktionen $f(x)$ Lineare Gleichungssysteme ${\begin{smallmatrix}{a_{1}\ b_{2}}\\{a_{2}\ b_{2}}\end{smallmatrix}}$ Trigonometrische Funktionen Vektoren Differentialrechnung $^{dy}/_{dx}$ Integralrechnung $\textstyle \int _{a}^{b}dx$ Folgen $a_{n}$ Beweise $a\rightarrow b$

Zahlendarstellungen

(Dekadisches oder) Dezimalsystem

Darstellungen einer Zahl im Dezimalsystem

Die gleiche Zahl kann man in verschiedenen Weisen schreiben. Man spricht von unterschiedlichen Darstellungen der Zahl:

$0{,}3^{2}=0{,}09={\frac {9}{100}}={\frac {21}{300}}=9\%$

${\sqrt {64}}=800\%=8={\frac {80}{10}}={\frac {40}{5}}$

Zur Erinnerung: ${\tfrac {9}{100}}$und ${\tfrac {80}{10}}$ oder ${\tfrac {40}{5}}$ sind Darstellungen einer Zahl (${\tfrac {9}{100}}$ von 0,09 und ${\tfrac {80}{10}}$ oder ${\tfrac {40}{5}}$ von 8). 9:100 oder 80:10 sind hingegen nicht Darstellungen einer Zahl, sondern Divisionen zwischen zwei Zahlen, auch wenn das Ergebnis der Division doch die gleiche Zahl ist, wie bei den entsprechenden Brüchen (also 0,09 bzw. 8).

Die römische Zahlendarstellung

Die griechische Zahlendarstellung

Die Geschichte von Null

Binäre Zahlen

Weitere Zahlensysteme

Runden

Grundregeln des Rundens

Das Quadrat von 7 ist 49 und daher ist die Wurzel von 49 gleich 7 (sie sind Gegenrechnungen). Was ist aber mit der Wurzel von 7? Wenn man die Rechnung mit einem einfacheren Taschenrechner macht, kommt das folgende Ergebnis vor:

2,6457513110645905905

Das bedeutet, dass das Quadrat von 2,6457513110645905905 (die Gegenrechnung) 7 sein sollte. Wenn man aber mit dem Taschenrechner die Rechnung macht:

2,6457513110645905905² = 2,6457513110645905905 · 2,6457513110645905905

kommt 6,99999999999999999999 als Ergebnis heraus, was zwar fast 7 ist, aber nicht genau 7.

Man spricht in diesem Fall vom Runden. Der Taschenrechner gibt beim Wurzelziehen ein Ergebnis an, das nicht genau ist. Das genaue Ergebnis hat unendlich viele Nachkommastellen. Es ist unmöglich die Wurzel von 7 mit einer Kommazahl ganz genau zu bestimmen. Die einzige Weise die Wurzel von 7 genau anzugeben, ist ${\sqrt {7}}$ zu schreiben!

Wie genau das Ergebnis mit Kommastellen ist, hängt vom Taschenrechner ab. Jeder Taschenrechner kann eine bestimmte Anzahl von Nachkommastellen berechnen. Die Wurzel aus 7 mit einer Kommazahl genau anzugeben ist aber nicht möglich.

Der Taschenrechner gibt ein Ergebnis an, das so nah wie möglich zum tatsächlichen Wert von $\ {\sqrt {7}}\$ ist und so viele Nachkommastellen hat, wie der Taschenrechner berechnen kann. In der Anzeige des Taschenrechners stehen sogar oft weniger Stellen (wieder gerundet) als die Stellen, die der Taschenrechner berechnen kann.

Das Runden ist in solchen Fällen unvermeidbar und oft notwendig und sinnvoll. Stellen wir uns vor, dass ein Produkt 6€ kostet. In einer Sonderaktion wird allerdings ein Rabatt 17% gewährt. In diesem Fall ist der Preis nach dem Rabatt:

6 ⋅ 0,83 = 4,938€

Hier muss man wieder runden. Die Münze mit dem kleinsten Wert ist 1¢ (0,01€). So was wie 0,008€ kann man nicht in Bar bezahlen. Man kann auch nicht genau 4.938€ bezahlen. Man muss auf zwei Nachkommastellen runden:

4,938€ ≈ 4,94€

Warum haben wir hier 4,94 und nicht 4,93 geschrieben?

4,938 liegt näher bei 4,94 als bei 4,93.

Wenn man rundet, rundet man auf (also eins nach oben), wenn die nächste Ziffer 5 oder mehr ist. Man rundet ab (also die Ziffer bleibt die gleiche), wenn die nächste Ziffer weniger als 5 ist:

5,6873729 ≈ 5,69      5,6873729 ≈ 5,687373

5,6873729 ≈ 5,68737     5,6873729 ≈ 5,687     8,785 ≈ 8,79

Im letzten Beispiel sehen wir, dass aufgerundet wird, wenn die nächste Ziffer 5 ist. 8,785 rundet man auf 8,79. Die nächste Ziffer von ist 5, daher wird aufgerundet. Diese Art vom Runden von 5 wird „kaufmännische“ Rundung genannt und wird in der Schule benutzt. Dieser Art der Rundung von 5 kann allerdings zu Probleme führen, besonders in der Statistik. Daher gibt es auch andere Regeln, wie man rundet, wenn die nächste Stelle eine einzige 5 ist.

Wie viele Nachkommastellen muss man schreiben? Das ist vom Problem abhängig.

Die Ziffern ohne die Nullen zu Beginn oder am Ende der Zahl nennt man gültige Ziffern.

Es kann sein, dass bei einer Aufgabe festgelegt wird, auf wie viele Stellen gerundet wird:

Aufgabe: Runden auf drei (gültige) Stellen (oder in diesem Beispiel auf zwei Nachkommastellen)

5,6873729 ≈ 5,69

Aufgabe: Runden auf sieben Stellen (oder in diesem Beispiel auf sechs Nachkommastellen)

5,6873729 ≈ 5,687373

Aufgabe: Runden auf sechs Stellen (oder in diesem Beispiel auf fünf Nachkommastellen)

5,6873729 ≈ 5,68737

Aufgabe: Runden auf vier Stellen (oder in diesem Beispiel auf drei Nachkommastellen)

5,6873729 ≈ 5,687

Aufgabe: Runden auf zwei (gültige) Stellen (oder in diesem Beispiel auf vier Nachkommastellen)

0,002356 ≈ 0,0024

Wenn es keine Angabe über die gültigen Ziffern gibt, schreibt man nicht mehr als 5 oder 6 gültigen Ziffern insgesamt (also samt Ziffer vor dem Komma), beispielsweise:

895,76038≈895,760    0,007854309826≈0,00785   9874086973≈9874100000

In manchen Fällen sollte es von der Aufgabe klar sein, wie vielen gültige Stellen zu erwarten sind. Ein solchen Beispiel haben wir schon mit dem € gesehen.

Ein anderes Beispiel ist, wenn man ein Messband benutzt, um einen Abstand zu messen. Ein Messband kann nur bis mm messen und nichts kleineres. Wenn der gemessene Abstand 145cm ist und ihn in 7 teilt, kann das Ergebnis nur eine Nachkommastelle haben (mm).

Wenn man die Zeit mit einem elektronischen Stoppuhr misst, zeigt diese oft Nachkkommastellen nach der Sekunde, z.B. 6,463s. Das ist wieder völlig daneben, da die Reaktionszeit des Menschen mehr als 0,1s ist. Man kann also mit einer Stoppuhr, die mit der Hand betrieben wird, nicht genauer als eine Nachkommastelle nach der Sekunde messen. Die restlichen Nachkommastellen führen zum falschen Eindruck, dass man doch so genau (mit drei Nachkommastellen) messen kann.

Hier kann man auch erklären: Eine Zahl ändert sich nicht, wenn man eine oder mehrere Nullen vor der ersten Ziffer oder nach der letzten Nachkommastelle hinzufügt:

7,34 = 007,34 = 7,340 = 7,34000 = 000007,34000000

8888 = 8888,0000 = 0008888

Aufrunden von 9

Wenn die Ziffer, die gerundet werden muss, 9 ist, gibt es beim Aufrunden eine gewisse Schwierigkeit. Die Ziffer sollte um 1 erhöht werden, es gibt aber keine Ziffer, die mehr als 9 ist. In diesem Fall wird wie bei der Division, also auch mit der vorherigen Ziffer gearbeitet. Runden wir folgende Beispiele auf drei gültigen Stellen:

• 8,695408

Wir wollen hier drei Stellen benutzen, die letzte Stelle ist 9. Nach der 9 folgt 5, wie müssen also aufrunden. 9 muss um 1 erhöht werden. Das geht nicht. Dann nimmt man zwei Ziffern (also hier die Ziffern nach dem Komma 69) und erhöht sie um 1 (69 wird zu 70). Also:

8,695408 ≈ 8,70

• 0,039995

Wir wollen wieder drei Stellen benutzen, die letzte Stelle ist 9. Nach der 9 folgt 9, wie müssen also aufrunden. 9 muss um 1 erhöht werden. Das geht nicht. Dann nimmt man zwei Ziffern (also hier die Ziffern 99) und versucht sie um 1 zu erhöhen. Das geht auch nicht, 99 ist die größte zweistellige Zahl. In diesem Fall nehmen alle drei Stellen (399) und erhöhen wir sie um 1:

0,039995≈0,0400

Die zwei Nullen nach dem 4 müssen geschrieben werden, um zu zeigen, dass es auf drei gültigen Stellen gerundet wurde.

• 999,73

In diesem Beispiel muss man wieder alle drei Stellen benutzen, das Runden findet aber doch davor statt!

999,73≈1000

Zahlenmengen

Einführung zu den Zahlenmengen

Einfach gesagt ist eine Menge eine Sammlung von mehreren Sachen. Viele Bücher zusammen sind eine Menge von Büchern, viele Blumen zusammen sind eine Menge von Blumen, viele Ziegen und Schafen und Kühe zusammen sind eine Menge von Tieren. Man kann sogar von einer Menge sprechen auch, wenn man eine Sache hat (z. B. ein Buch) oder keine Sache (die leere Menge). Ein Bereich der Mathematik, die Mengentheorie, beschäftigt sich mit den Mengen. In dieser Theorie spricht man auch von Zahlenmengen.

Natürliche Zahlen

Die einfachste Zahlenmenge ist die Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$:

1, 2, 3, 4, 5, …

Die Menge der natürlichen Zahlen schreibt man mit $\mathbb {N}$. Null kann auch zur Menge der natürlichen Zahlen gehören. Wie man die Menge mit oder ohne Null schreibt, unterscheidet sich zwischen Sprachen und Kulturen.

Ganze Zahlen

Die Menge der natürlichen Zahlen kann man mit den negativen Zahlen erweitern. Dann entsteht die Menge der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$:

… −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Alle natürliche Zahlen sind auch ganze Zahlen. Andererseits sind NUR die positive ganze Zahlen (oder die nicht negativen) auch natürliche Zahlen!

Rationale Zahlen

Wenn man natürliche oder ganze Zahlen dividiert, bekommt man oft Zahlen mit Nachkommastellen:

$11:7=1{,}571428\dots$

Diese Zahl ist keine ganze (und daher auch keine natürliche) Zahl. Sie ist eine sogenannte rationale Zahl. Die Menge alle Zahlen, die man als Brüche von ganzen Zahlen schreiben kann, ist die Menge der rationalen Zahlen. Man soll aufpassen. 11 durch 7 (11:7) ist eine Division zwischen zwei ganzen Zahlen. Der Bruch ${\tfrac {11}{7}}$ hingegen ist eine Zahl (eine rationale Zahl), die gleich so viel ist, wie das Ergebnis (Quotient) der Division 11:7.

Wenn man zwei ganze Zahlen dividiert, kann man wieder eine ganze Zahle bekommen (wie z. B. 26:2=13) oder eine Zahl mit Nachkommastellen. Wenn das Ergebnis Nachkommastellen hat, dann ist sie keine ganze Zahl mehr.

Alle ganze Zahlen (und daher auch alle natürliche) sind auch rationale Zahlen (z. B. $7={\tfrac {14}{2}}$). NUR die rationalen Zahlen OHNE Nachkommastellen sind auch ganze Zahlen.

Für die Zahlen mit Nachkommastellen gibt es zwei Möglichkeiten: sie können endlich viele Nachkommastellen haben (z. B. $\textstyle 6{,}345={\frac {1269}{200}}$) oder unendlich viele Nachkommastellen (wie ${\tfrac {11}{7}}$). Im letzten Fall gibt es in den Nachkommastellen eine Wiederholung von der gleichen Zahlenfolge:

${\frac {11}{7}}=1{,}\ \mathbf {571428} \ \ \ {\color {Red}571428}\ \ \ {\color {Red}571428}\dots$

Diese wiederholte Zahlenfolge (hier die Zahlenfolge $\ {\color {Red}571428}$) nennt man Periode. Eine intuitive Erklärung für die Entstehung dieser Periode können wir bei der Division feststellen, wenn wir sie ohne Taschenrechner durchführen: Wenn nach der letzten Kommastelle unendlich lang Nullen geschrieben werden können und die Division dadurch weiter geführt werden kann, wird irgendwann als Rest genau die gleiche Zahl vorkommen und dadurch wird der Prozess wieder genauso wiederholt.

Die erweiterte Zahlenmenge (ganze Zahlen und dazu Zahlen mit endlich viele oder unendlich viele aber periodischen Nachkommastellen) nennt man Menge der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$.

Reelle Zahlen

Es gibt aber auch Zahlen, die zwar unendlich viele Nachkommastellen haben aber keine Periode. $\textstyle {\sqrt {2}}$ z. B. ist eine solche Zahl. Es gibt einen Beweis dafür, der zeigt, dass man $\textstyle {\sqrt {2}}$ NICHT als Bruch von zwei ganzen Zahlen ausdrücken kann. $\textstyle {\sqrt {2}}$ ist eine sogenannte irrationale Zahl. Die irrationale Zahlen (wie $\textstyle {\sqrt {2}}$) zusammen mit den rationalen (wie ${\tfrac {11}{7}}$ oder −6) bilden zusammen die Menge der reellen Zahlen $\mathbb {R}$.

ALLE rationale Zahlen sind auch reelle Zahlen. NICHT alle reelle Zahlen sind auch rationale Zahlen (z. B. $\textstyle {\sqrt {2}}$ ist eine Reelle aber keine Rationale Zahl).

Zahlenmengen

Man kann also sagen: 5 ist eine natürliche aber auch eine ganze, eine rationale und eine reelle Zahl. $-{\tfrac {14}{7}}$ ist eine rationale, eine reelle aber auch eine ganze Zahl (warum? Weil −14:7 = −2 ist und −2 eine ganze Zahl ist). Sie ist aber keine natürliche Zahl (weil −2 eine negative Zahl ist). $\textstyle {\sqrt {7}}$ ist nur eine reelle Zahl und keine rationale, ganze oder natürliche Zahl. $\textstyle {\sqrt {81}}$ ist eine reelle, aber auch eine rationale, eine ganze und eine natürliche Zahl (weil $\textstyle {\sqrt {81}}=9$ ist).

Eine Darstellung der Beziehungen zwischen den Mengen kann man im Bild sehen. Die reelle Zahlen beinhalten alle anderen Mengen, sie sind sozusagen die „größte“ Menge, die natürlichen Zahlen hingegen sind in allen anderen Mengen drinnen, beinhalten aber selber keine andere Menge (zumindest nicht in diesem Bild, also, wenn wir über diese 4 Mengen sprechen). Die natürliche Zahlen sind sozusagen die „kleinste“ Menge von diesen 4 Mengen.

Existenzbeweis irrationaler Zahlen

Hier werden wir zeigen, dass die ${\sqrt {2}}$ keine rationale Zahl sein kann, also kein Bruch von natürlichen Zahlen. Ähnlich (wenn auch aufwändiger) kann man dies auch für ${\sqrt {3}}$, ${\sqrt {5}}$, ${\sqrt {7}}$ und weitere Zahlen zeigen.

Der Beweis ist ein sogenannter Widerspruchsbeweis. Wir werden vermuten, dass ${\sqrt {2}}$ ein Bruch von teilerfremden Zahlen ist, also von Zahlen, deren Primfaktorzerlegung aus unterschiedlichen Primzahlen besteht. Wir werden dann zeigen, dass dies nicht möglich ist und daher, dass ${\sqrt {2}}$ kein Bruch von natürlichen Zahlen sein kann.

Erst zeigen wir, dass das Quadrat von geraden Zahlen (die durch 2 teilbar sind) immer auch eine gerade Zahl und das Quadrat von ungeraden Zahlen (die durch 2 nicht teilbar sind) immer auch eine ungerade Zahl ist:

Sei m eine gerade Zahl. Wir können sie dann durch 2 teilen. Nennen wir das Ergebnis der Teilung k. Dann gilt:

$m=2\cdot k$

$m^{2}=(2\cdot k)^{2}$

$m^{2}=2\cdot (2\cdot k^{2})$

Also: das Quadrat einer geraden Zahl ist auch eine gerade Zahl.

Sei n eine ungerade Zahl. Wir können diese Zahl so schreiben: $n=2\cdot k+1$. Dann gilt:

$m=2\cdot k+1$

$m^{2}=(2\cdot k+1)^{2}$

$m^{2}=4k^{2}+4\cdot k+1$

$m^{2}=2(2k^{2}+2\cdot k)+1$

Also: das Quadrat einer ungeraden Zahl ist auch eine ungerade Zahl.

Daraus folgt:

Satz 1: Wenn das Quadrat einer Zahl gerade ist, dann kann diese Zahl nur auch gerade sein,...

...weil, wenn sie ungerade wäre, ihr Quadrat doch auch ungerade wäre.

Nehmen wir also jetzt an, dass ${\sqrt {2}}={a \over b}$, wobei a und b teilerfremd sind. Dann gilt:

$2={a^{2} \over b^{2}}\ \Rightarrow \ a^{2}=2\cdot b^{2}$

Nach Satz 1 bedeutet dies, dass a eine gerade Zahl ist (da ihr Quadrat auch eine gerade Zahl ist). Schreiben wir also: $a=2\cdot q$, wo $q$ der Quotient von a durch 2 ist. Dann gilt:

$(2\cdot q)^{2}=2\cdot b^{2}\Rightarrow 4\cdot q^{2}=2\cdot b^{2}\Rightarrow 2\cdot q^{2}=b^{2}$

was dann nach Satz 1 bedeutet, dass b AUCH eine gerade Zahl ist. Das kann auch nicht sein, weil wir angenommen haben, dass a und b teilerfremd sind, also dass sie keinen gemeinsamen Primfaktor haben.

Wenn wir also vermuten, dass ${\sqrt {2}}={a \over b}$, also ein Bruch von natürlichen Zahlen, ist, sollten diese Zahlen gleichzeitig teilerfremd sein UND 2 als gemeinsamen Teiler haben. Dies ist selbstverständlich nicht möglich. Daher kann es nicht sein, dass ${\sqrt {2}}$ ein Bruch von natürlichen Zahlen, also eine rationale Zahl, ist. Diese neue Art von Zahlen nennen wir dann irrational.

Mengenlehre

Begriffe der Mengenlehre

Eine Menge ist eine Zusammensetzung aus Objekten, die Elemente der Menge genannt werden. Diese "Objekte" können abstrakt ("Ideen") oder konkret ("Gegenstände") sein. Sie dürfen eine Gemeinsamkeit haben, müssen allerdings nicht. Cantor war einer der erster Mathematiker, die sich mit diesem Begriff genauer befasst haben. Er beschrieb eine Menge „naiv“ als eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Wichtig ist also bei einer Menge, dass man seine Elemente unterscheiden und daher auch aufzählen kann. Die Elemente einer Menge werden in Mathematik innerhalb von geschweiften Klammern geschrieben: $\{1.{\text{ Element}},2.{\text{ Element}},\dots \}$.

Es gibt eine besondere Menge, die leere Menge. Man kann sie sich vorstellen wie eine leere Schachtel, die hat keinen Inhalt hat. Das Symbol für die leere Menge ist $\{\}\$oder $\emptyset$. Es muss klar sein: die Menge $\{\emptyset \}\$ist eine Menge, die die leere Menge beinhaltet und daher selber keine leere Menge mehr.

Wichtige Begriffe, die Beziehungen zwischen Mengen beschreiben, sind die Teilmenge, die Schnittmenge, die Vereinigung, die Differenz und das kartesische Produkt.

A ist eine (echte) Teilmenge von B

Ein Menge A ist eine Teilmenge einer anderen anderen Menge B, wenn alle Elemente von A auch Elemente von B sind. Das Symbol dafür ist: ${A}\subseteq {B}$. Wenn auch ${B}\subseteq {A}\$gilt, dann sind die Mengen gleich, also jedes Element einer Menge gehört auch der Anderen. In diesem Fall schreibt man: $A=B$.

Schnittmenge $A\cap B$

Beispiel für eine Schnittmenge

Die Schnittmenge von zwei (oder mehrerer) Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die gleichzeitig beiden Mengen gehören. Das Symbol dafür ist: $A\bigcap B$.

Vereinigungsmenge $A\cup B$

Beispiel einer Vereinigungsmenge

Die Vereinigung von zwei (oder mehrerer) Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die einer der Mengen gehören. Das Symbol dafür ist: $A\bigcup B$.

Differenzmenge $A\setminus B$: „A ohne B“

Die Differenz von zwei Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die zwar zur Menge A gehören aber ohne die Elemente, die doch gleichzeitig zur Menge B gehören. Das Symbol dafür ist: $A\setminus B$.

Das (kartesische) Produkt zweier Mengen A und B ist die Menge aller Paarelementen, die als erstes Element ein Element von A und als zweites ein Element von B haben. Das Symbol dafür ist: $A\times B$.

Mengenlehre Aufgabebeispiel

Im Diagramm sind mit S1 die Mathematik-StudentInnen gemeint, die Analysis gewählt haben, mit S2 diejenige, die lineare Algebra gewählt haben und mit S3 diejenige, die Zahlentheorie gewählt haben. Die Anzahl der Personen, die durch die weiteren Buchstaben dargestellt werden ist: A=6, B=9, C=13, D=3, E=20, F=33 und G=1.

1. Wie viele Personen haben alle drei Fächer gewählt? Beschreiben Sie diese Menge mit Hilfe der Mengen S1, S2 und S3. Beschreiben Sie die gleiche Menge auch mit Hilfe der Mengen A, B, C, D, E, F, G.
2. Wie viele Personen haben Analysis oder Zahlentheorie gewählt, ohne lineare Algebra gewählt zu haben? Beschreiben Sie diese Menge mit Hilfe der Mengen S1, S2 und S3. Beschreiben Sie die gleiche Menge auch mit Hilfe der Mengen A, B, C, D, E, F, G.
3. Was soll in diesem Zusammenhang $\left(S1\bigcup S2\right)\setminus S3\$bedeuten? Wie viele Personen sind es? Beschreiben Sie die gleiche Menge auch mit Hilfe der Mengen A, B, C, D, E, F, G.
4. Was soll in diesem Zusammenhang $\left(S3\bigcap S1\right)\setminus S2\$bedeuten? Wie viele Personen sind es? Beschreiben Sie die gleiche Menge auch mit Hilfe der Mengen A, B, C, D, E, F, G.
5. Wie wurden Sie die Menge D mit Hilfe der Mengen S1, S2 und S3 schreiben?

1. $C=S1\bigcap S2\bigcap S3\$also 13 Personen.
2. $G\bigcup B\bigcup A=\left(S1\bigcup S3\right)\setminus S2$ also 16 Personen.
3. Das sind die Personen, die zumindest eines der beiden Fächer Analysis und lineare Algebra aber doch nicht Zahlentheorie gewählt haben, also $G\bigcup F\bigcup E$. Das sind 56 Personen.
4. Das sind die Personen, die gleichzeitig Analysis und Zahlentheorie aber nicht lineare Algebra gewählt haben, also die Menge $B$. Das sind 9 Personen.
5. $\left(S3\bigcap S2\right)\setminus S1\$

Aussagenlogik

Logische Aussage

Eine Aussage ist in der Logik ein Satz, der entweder wahr oder falsch sein kann.

Was wahr oder nicht wahr ist, ist letztendlich eine tiefe philosophische Frage. Damit werden wir uns hier nicht beschäftigen. Wir werden an den Konventionen unserer Sprache verbleiben und verschieden Sätze, um ihre Möglichkeit wahr oder nicht wahr zu sein, untersuchen.

• Ein Auto ist ein Verkehrsmittel.

So ein Satz kann war oder nicht wahr sein. Er ist also eine Aussage. In diesem Fall ist er wahr. Schreiben wir "Eine Orange ist ein Verkehrsmittel", haben wir wieder einen Satz der wahr oder nicht wahr sein kann. In diesem Fall ist er nicht wahr. Es gibt allerdings viele Sätze, die keine logische Aussage sind:

• Die Rose ist die schönste Blume.

Dieser Satz ist grundsätzlich eine Meinung. Antworten zu ästhetischen Fragen (Fragen, die mit dem Schönen zu tun haben) sind nicht objektiv, besser gesagt nicht intersubjektiv. Man kann nicht sagen, ob sie wahr oder nicht wahr sind. Das ist eben eine Geschmackssache.

• Michael meint, dass die Rose die schönste Blume ist.

Dieser Satz ist allerdings schon eine logische Aussage. Sie kann nur wahr oder nicht wahr sein.

• Ist die Rose die schönste Blume?

Alle Fragen können keinen logische Aussage sein. Man kann sie logisch nicht als wahr oder falsch einschätzen.

• Schneide diese Rose

Es sollte schon klar sein: Dieser Satz ist auch keine logische Aussage.

Logische Aussageform

Eine Aussage, in der zumindest ein geeigneter Teil durch eine Variable (einen "Platzhalter") ersetzt wird, ist eine Aussageform.

Sobald der Platzhalter durch den geeigneter Wert ersetzt wird, entsteht eine Aussage, die wahr oder falsch sein kann.

• _________ hat vier Beine.

Sobald wir in der Lücke ein Tier oder ein Gegenstand mit Beinen einsetzen, wird der Satz wahr oder nicht wahr sein. Schreiben wir in der Lücke "Huhn", ist er nicht wahr, schreiben wir "Tisch", kann er wahr sein, je nachdem, welches Tisch gemeint ist. Es geht also um eine Aussageform.

Logische Verknüpfungen

In der Aussagelogik wird die Kombination von Aussagen nach ihrem Wahrheitswert untersucht. Es gibt verschiedene Weise Aussagen zu Kombinieren (man sagt "zu verknüpfen").

• Die Konjunktion.
  Das ist das logische "und". Die Konjunktion von zwei Aussagen ist nur dann wahr, wenn beide wahr sind. Das Symbol dafür ist $\land$. Beispiel:
  "44 hat zwei Ziffern" $\land$ "Ein Kugelschreiber ist eine Pflanze" ist nicht wahr, da der zweite Satz eindeutig nicht wahr ist.
• Die Disjunktion.
  Das ist das logische "oder". Die Disjunktion von zwei Aussagen ist nur dann wahr, wenn zumindest eine der beiden Aussagen wahr sind. Das Symbol dafür ist $\lor$. Beispiel:
  "44 hat zwei Ziffern" $\lor$ "Ein Kugelschreiber ist eine Pflanze" ist wahr, da zumindest ein Satz, hier der erste, wahr ist.
  "44 hat zwei Ziffern" $\lor$ "Ein Baum ist eine Pflanze" ist auch wahr, da zumindest ein Satz wahr ist, in diesem Fall allerdings beide.
• Die Adjunktion.
  Das ist das logische "entweder-oder". Die Disjunktion von zwei Aussagen ist nur dann wahr, wenn genau eine der beiden Aussagen wahr ist. Das Symbol dafür ist ${\dot {\lor }}$. Beispiel:
  "44 hat zwei Ziffern" ${\dot {\lor }}$ "Ein Kugelschreiber ist eine Pflanze" ist wahr, da genau ein Satz, hier der erste, wahr ist.
  "44 hat zwei Ziffern" ${\dot {\lor }}$ "Ein Baum ist eine Pflanze" ist allerdings hier doch nicht wahr, da nicht genau einer, sondern beide Sätze wahr sind, es gilt also das "entweder-oder" nicht.
• Die Negation.
  Die Negation eines Satzes ist dann wahr, wenn der anfängliche Satz nicht wahr ist und umgekehrt. Das Symbol dafür ist $\neg$.
  $\neg$"Ein Baum ist eine Pflanze" ist nicht wahr, da der Satz "Ein Baum ist eine Pflanze" schon wahr ist.
• Die Implikation.
  Oft benutzen wir in der Sprache Folgerungen. Das sind Sätze der Form "wenn-dann". Den "wenn"-Satz nennen wir oft "Voraussetzung", den "dann"-Satz "Konsequenz". Diese Art von "wenn-dann" Sätzen nennt man in Logik Implikation. Das Symbol dafür ist $\Rightarrow$. Dabei müssen sie in der Logik nicht unbedingt einen tatsächlichen Zusammenhang haben. Eine Implikation ist nur dann nicht wahr, wenn die "Voraussetzung" wahr und die "Folgerung" nicht wahr ist. Ein Beispiel:
  "44 hat zwei Ziffern" $\Rightarrow$ "Ein Kugelschreiber ist eine Pflanze" ist nicht wahr, da die "Voraussetzung" wahr, die "Konsequenz" allerdings nicht wahr ist.
• Die Äquivalenz.
  Sie ist ein Implikation in beiden Richtungen. Das Symbol dafür ist $\Leftrightarrow$. Eine Äquivalenz ist nur dann wahr, wenn beide Aussagen den gleichen Wahrheitswert haben, also wenn sei beide wahr oder beide nicht wahr sind. Beispiel:
  "44 hat zwei Ziffern" $\Leftrightarrow$ "Ein Kugelschreiber ist eine Pflanze" ist nicht wahr, weil ein Satz wahr (hier der erste) und ein Satz nicht wahr (hier der zweite) ist.
  "44 hat fünf Ziffern" $\Leftrightarrow$ "Ein Kugelschreiber ist eine Pflanze" ist allerdings wahr, weil beide Aussagen den gleichen Wahrheitswert haben (hier sind sie beide nicht wahr)

Wahrheitstabellen

Den Wahrheitswert der verschiedenen Verknüpfungen kann man auch in einer Tabelle darstellen:

Belegung		UND	ODER	ENTW. ODER	WENN DANN	WENN DANN	GENAU DANN WENN
$a$	$b$	$\ a\land b\$	$\ a\lor b\$	$\ a{\dot {\lor }}b\$	$\ a\Rightarrow b\$	$\ b\Rightarrow a\$	$\ a\Leftrightarrow b\$
w	w	w	w	f	w	w	w
w	f	f	w	w	f	w	f
f	w	f	w	w	w	f	f
f	f	f	f	f	w	w	w

Mit Hilfe einer solchen Tafel kann man den Wert von Kombinationen von Verknüpfungen herausfinden. Hier ein paar Beispiele:

Belegung			Untersuchung des Wahrheitswerts des Ausdrucks $\ ((\neg (a\land b)\Rightarrow c){\dot {\lor }}\neg a)\Leftrightarrow b\$
$a$	$b$	$c$	$\ a\land b\$	$\ \neg (a\land b)\$	$\ \neg (a\land b)\Rightarrow c\$	$\ \neg a$	$\ (\neg (a\land b)\Rightarrow c){\dot {\lor }}\neg a\$	$\ ((\neg (a\land b)\Rightarrow c){\dot {\lor }}\neg a)\Leftrightarrow b\$
w	w	w	w	f	w	f	w	w
w	w	f	w	f	w	f	w	w
w	f	w	f	w	w	f	w	f
w	f	f	f	w	f	f	f	w
f	w	w	f	w	w	w	f	f
f	w	f	f	w	f	w	w	w
f	f	w	f	w	w	w	f	f
f	f	f	f	w	f	w	w	w

Mit dem nächsten Beispiel wird es klar, dass manchmal Klammer notwendig sind, sonst hat der Ausdruck keinen klaren Wahrheitswert. Zwischen vorletzten und letzten Spalte ist die Klammersetzung der einzige Unterschied. Man merkt, dass die Wahrheitswerte für einige Kombinationen dann schon unterschiedlich sind.

Belegung
$a$	$b$	$c$	$\ a\land b\$	$\ b\Rightarrow c\$	$\ (a\land b)\Rightarrow c\$	$\ a\land (b\Rightarrow c)\$
w	w	w	w	w	w	w
w	w	f	w	f	f	f
w	f	w	f	w	w	w
w	f	f	f	w	w	w
f	w	w	f	w	w	f
f	w	f	f	f	w	f
f	f	w	f	w	w	f
f	f	f	f	w	w	f

Lass uns die letzte Tabelle ein bisschen erweitern:

Belegung
$a$	$b$	$c$	$\ a\land b\$	$\ b\Rightarrow c\$	$\ (a\land b)\Rightarrow c\$	$\ a\land (b\Rightarrow c)\$	$\ ((a\land b)\Rightarrow c)\lor (a\land (b\Rightarrow c))\$	$\ ((a\land b)\Rightarrow c){\dot {\lor }}(a\land (b\Rightarrow c))\$	$\ \neg a\$
w	w	w	w	w	w	w	w	f	f
w	w	f	w	f	f	f	f	f	f
w	f	w	f	w	w	w	w	f	f
w	f	f	f	w	w	w	w	f	f
f	w	w	f	w	w	f	w	w	w
f	w	f	f	f	w	f	w	w	w
f	f	w	f	w	w	f	w	w	w
f	f	f	f	w	w	f	w	w	w

Man merkt, dass die zwei letzten Spalten identisch sind. In diesem Fall spricht man von einer Tautologie. Die Ausdrücke $\ ((a\land b)\Rightarrow c){\dot {\lor }}(a\land (b\Rightarrow c))\$und$\ \neg a\$haben daher immer den gleichen Wert, egal was die Aussagen a, b und c besagen. Das gleiche gilt auch für die Ausdrücke $\ (a\land b)\Rightarrow c\$und$\ ((a\land b)\Rightarrow c)\lor (a\land (b\Rightarrow c))\$(6. und 8. Spalte)

Symbole und Konventionen in Mathematik und Logik

In Mathematik (und daher auch in der Logik als Teilgebiet der Mathematik) werden viele Symbole und viele Konventionen benutzt. Es muss klar sein: Es hat Jahrtausende gedauert, bis die Menschen diese Symbole erdacht haben und ihre internationale Anwendung ist eine Konvention, die oft erst vor kurzem vereinbart wurde. Für viele von diesen Symbolen gab es mehrere verschiedene Darstellungen und viele werden immer noch in verschiedenen Länder anders dargestellt.

Zunächst einmal gibt es die Ziffern von 0 bis 9 und ihre Anwendung in den Zahlen im dekadischen (und nicht nur) System. Dass in der Zahl 783,94 mit 7 die Hunderte, mit 8 die "Zehner", mit 3 die "Einser", mit 9 die Zehntel und mit 4 die Hundertstel dargestellt werden ist wiederum eine Konvention des dekadischen Systems.

Die einfachsten Symbole sind die vier Grundrechnungen + (plus), − (minus), ⋅ (oder ×) (mal), : (oder ÷ oder /) (durch) und dazu das Symbol für Gleichheit $=$, Ungleichheit $\neq$ und ungefähre Gleichheit $\approx \ \simeq$. Die Multiplikation ist eine Konvention, die das mehrfache Addieren der gleichen Zahl darstellt. Entsprechend gibt es die Darstellung der Potenzzahlen aⁿ, die eine Konvention für die mehrfache Multiplikation der gleichen Zahl ist. Dann gibt es auch Vergleichssymbole wie $<,>,\leq ,\geq$, was "kleiner als", "größer als", "kleiner oder gleich wie" bzw. "größer oder gleich wie" bedeuten (immer von links nach rechts gelesen). Eine Konvention ist auch die Darstellung der Funktionen in der Form f(x) (wobei jeder Buchstabe für f und irgendeiner anderer Buchstabe für x benutzt werden darf): In diese Darstellung steht f(x) für die abhängige Variable (die i. d. R. auf der y-Achse dargestellt wird) und x (also der Buchstabe in Klammern) für die unabhängige (die i. d. R. auf der x-Achse dargestellt wird). Eine Konvention ist auch, dass kleine Buchstaben (besonders die ersten) in der Geometrie für Seiten benutzt werden, große für (Eck-) Punkte und griechische für Winkel.

In der Mengenlehre gibt es die Symbole $\bigcap \$für die "Schnittmenge", $\bigcup \$für die "Vereinigung", $\setminus \$für die "Differenz", $\subseteq \$für die "Teilmenge" und $\times \$für das "kartesische Produkt".

In der Logik gibt es Symbole für die Verknüpfungen von Aussagen, wie $\land$ (logisches „und“), $\lor$ (logisches „oder“), ${\dot {\lor }}$ (logisches „entweder oder“), $\Leftarrow$ und $\Rightarrow$ (logisches „daraus folgt“, „wenn …, dann …“ in der Richtung des Pfeils), $\Leftrightarrow$ (logisches „genau dann, wenn“) und $\neg$ (logische "Negation"). Weitere Symbole, die in der Logik benutzt werden, sind:

$\in \$: das bedeutet, dass ein Objekt Element einer Menge sein soll. Die Gegenaussage ist dann: $\notin \$also kein Element.

$\forall \$: das bedeutet „für jedes“ (Element), „für alle“ (Elemente)

$\exists \$: das bedeutet „es gibt“ („zumindest eins“), die Gegenaussage ist dann: $\nexists \$: „es gibt nicht“ oder „es gibt keine“.

$:\$ bedeutet „so dass“.

$|\$ bedeutet „gilt“.

Mengenlehre und Aussagenlogik

*$A\bigcap \ B=\{x|(x\in A)\land (x\in B)\}$
Das kann man so ablesen: Die Schnittmenge der Mengen A und B sind die Objekte x, für denen es gilt, dass sie sowohl Elemente der Menge A also auch Elemente der Menge B sind.

• $A\bigcup B=\{x|(x\in A)\lor (x\in B)\}$
  Das kann man so ablesen: Die Vereinigungsmenge der Mengen A und B sind die Objekte x, für denen es gilt, dass sie Elemente zumindest einer der Mengen A und Menge B sind, also Elemente der Menge A, oder der Menge B oder der beiden Mengen A und B.
• $A\setminus B=\{x|(x\in A)\land (x\notin B)\}$
  Das kann man so ablesen: Die Differenzmenge der Mengen A und B sind die Objekte x, für denen es gilt, dass sie zwar Elemente der Menge A sind aber nicht und Menge B. Wenn also die Menge A auch Elemente der Menge B beinhaltet, gehören letztere nicht zu dieser Differenzmenge.
• $A\subseteq B\Leftrightarrow (\forall x\in A|x\in B)$
  Das kann man so ablesen: Die Menge A ist genau dann eine Teilmenge der Menge B, wenn für jedes Element der Menge A auch gilt, dass es ein Element der Menge B ist.
• $A\times B=\{(a|b)|a\in A\land b\in B)\}$
  Das kann man so ablesen: Das kartesische Produkt der Mengen A und B sind alle geordneten Objektpaaren bei denen das erste Objekt des Paares ein Element der Menge A ist und das zweite ein Element der Menge B.