MathemaTriX ⋅ Theorie. Exponential und Logarithmus Funktion

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AUFGABEN

KAPITEL Grundrechenarten Bruchrechnungen $-{\tfrac {\cdot \ +}{\ :\ }}$ Schlussrechnung Prozentrechnung Exponentialfunktion Logarithmus Arbeiten mit Termen $\mathbb {X} ^{2}$ Zahlendarstellungen Mengentheorie Aussagenlogik ${\begin{matrix}\mathbb {R} :=\\\mathbb {Q} \cup \mathbb {I} \end{matrix}}$ Einheiten $cm^{2}$ Statistik und Wahrscheinlichkeit Geometrische Konstruktionen Geometrie der Ebene Geometrie des Raums Diagramme Funktionen $f(x)$ Lineare Gleichungssysteme ${\begin{smallmatrix}{a_{1}\ b_{2}}\\{a_{2}\ b_{2}}\end{smallmatrix}}$ Trigonometrische Funktionen Vektoren Differentialrechnung $^{dy}/_{dx}$ Integralrechnung $\textstyle \int _{a}^{b}dx$ Folgen $a_{n}$ Beweise $a\rightarrow b$

Wachstums- und Abnahmeprozesse

Wachstum

Bevölkerungswachstum

• China hatte im Jahr 1966 eine Bevölkerungsgröße von circa 750 Millionen Menschen. Das jährliche Wachstum lag bei circa 2,5%. Wie groß wäre die Bevölkerung im Jahr 2016, wenn das Wachstum gleich geblieben wäre? Was wären die Ergebnisse eines solchen Wachstums?

Zwischen 1966 und 2016 liegen 50 Jahre. Berechnen wir Schritt für Schritt die Bevölkerung für die ersten drei Jahre mit Hilfe der Schlussrechnung (direkte Proportionalität):

Der Anfangswert (Jahr 1966) ist 750 Millionen (100%). In einem Jahr ist die Bevölkerung um 2,5% gewachsen, also im Jahr 1967 wäre die Bevölkerung 102,5%:

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\102,5\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{750 Millionen}}\\{}\\x_{1}\end{matrix}}$$\qquad \qquad {\begin{matrix}\qquad \left(750\cdot {\frac {102{,}5}{100}}=750\cdot 1{,}025=768{,}75\right)\qquad {\text{also }}\qquad x_{1}=768{,}75\ {\text{Millionen}}\\{\text{man kann daher schreiben:}}\qquad \qquad x_{1}=750\cdot 1{,}025^{1}{\text{Millionen}}\end{matrix}}$

Für das nächste Jahr 1967 ist von diesem Wert auszugehen, um die Bevölkerung 1968 zu berechnen. Die Bevölkerung wäre 2,5% gewachsen im Vergleich zum 1967 (und nicht 1966). Die Bevölkerung im Jahr 1967 (768,75 Millionen) ist daher der neue Anfangswert (100%):

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\102,5\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{768,75 Millionen}}\\{}\\x_{2}\end{matrix}}$$\qquad \qquad {\begin{matrix}\left(768{,}75\cdot {\frac {102{,}5}{100}}=768{,}75\cdot 1{,}025=787{,}96875\right)\ \ {\text{also }}\ \ x_{2}\approx 787{,}97\ {\text{Millionen}}\\{\text{aber, wie wir forher gesehen haben }}\qquad 768{,}75=750\cdot 1{,}025\qquad {\text{und daher }}\\787{,}97=768{,}75\cdot 1{,}025=\overbrace {750\cdot 1{,}025} ^{(=768{,}75)}\cdot 1{,}025=750\cdot 1{,}025^{2}\ \ {\text{also }}\\x_{2}=750\cdot 1{,}025^{2}\ {\text{Millionen}}\end{matrix}}$

Für das dritte Jahr geht man ähnlich vor:

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\102,5\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{787,97 Millionen}}\\{}\\x_{3}\end{matrix}}$$\qquad \qquad {\begin{matrix}787,97\cdot {\frac {102{,}5}{100}}=787{,}97\cdot 1,025\approx 807{,}67\qquad {\text{also }}\qquad x_{3}\approx 807{,}67\ \ {\text{Millionen}}\\{\text{aber, wie wir forher gesehen haben }}\qquad 787{,}97=750\cdot 1{,}025^{2}\qquad {\text{und daher }}\\{\text{und daher }}807{,}67\cdot 1{,}025=\overbrace {750\cdot 1{,}025^{2}} ^{(=787{,}97)}\cdot 1{,}025=750\cdot 1{,}025^{3}\ \ {\text{also }}\\x_{3}=750\cdot 1{,}025^{3}\ {\text{Millionen}}\end{matrix}}$

Wenn man das Ergebnis nach 50 Jahren berechnen will, müsste man mit der Strategie die gleiche Rechnung insgesamt 50 mal durchführen! Es gibt aber einen schnelleren Weg, die Aufgabe mit Hilfe eines Taschenrechners zu lösen. Betrachten wir unsere Ergebnisse (man muss immer mit der entsprechende schon gemachte Schlussrechnung vergleichen):

$x_{1}=750\cdot 1{,}025^{1}{\text{ Millionen}}\qquad (=768{,}75\ {\text{Millionen}})$

$x_{2}=750\cdot 1{,}025^{2}{\text{ Millionen}}\qquad (\approx 787{,}97\ {\text{Millionen}})$

$x_{3}=750\cdot 1{,}025^{3}{\text{ Millionen}}\qquad (\approx 807{,}67\ {\text{Millionen}})$

Jedes Jahr multiplizieren wir einmal weiter mit $\ 1{,}025$, jedes Jahr wird die Hochzahl um 1 größer! Das erste Jahr ist die Hochzahl von $\ 1{,}025\$ 1, das zweite Jahr 2, das dritte Jahr 3 und so weiter. Man kann sofort erkennen, dass die Hochzahl von $\ 1{,}025\$ nach 50 Jahren 50 sein wird und daher:

$x_{50}=750\cdot 1{,}025^{50}{\text{ Millionen}}\approx 2577{,}83\ {\text{ Millionen}}$.
So groß wäre die Bevölkerung Chinas nach 50 Jahren!

Hier ist die Periode (also die Zeit in der die Bevölkerung um 2,5% wächst) ein Jahr. In anderen Aufgaben kann sie etwas anderes sein (Woche, Monat, Tag, Stunde und so weiter). Wenn der Anfangswert A ist, der Wert am Ende E, der Prozentsatz des Wachstums P und die Anzahl der Perioden n (wie viele Perioden wir haben), dann kann man folgende Formel schreiben:

$E=A\cdot (1+P:100)^{n}$

Man kann schon sehen, dass die Bevölkerung Chinas sehr groß gewesen wäre, wenn das Wachstum so hoch geblieben wäre. Die Wirtschaft Chinas war schon 1966 geplant und die zuständigen Personen haben damals schon festgestellt, dass die Wirtschaft ein solches Wachstum der Bevölkerung nicht würde verkraften können. Die Leute würden an Hunger sterben oder man würde Kriege führen müssen, um die Bevölkerung zu verringern oder neue Ressourcen zu erschließen. Deshalb haben die Zuständigen die „ein-Kind-Politik“ eingeführt, die das Wachstum der Bevölkerung ohne Hungertod oder größere Kriege in gewissen Grenzen gehalten hat. Die Bevölkerung ist doch gewachsen, aber nicht so viel.

Ein kleiner (oder doch sehr großer?) Kommentar:
Manche könnten sagen, dass die Verdoppelung nach 50 Jahren nicht so viel ist. Wenn jemand dieser Meinung ist, sollte er die Bevölkerung nach 1000 Jahren berechnen (also, die Hochzahl sollte 1000 und nicht mehr 50 sein) und versuchen, sich vom Ergebnis nicht schockieren zu lassen ... Hier ist die Berechnung für 500 Jahre:

$x_{500}=750\cdot 1{,}025^{500}{\text{ Millionen}}\approx 173\ {\text{Millionen von Millionen, }}$also Trillionen!

Allerdings könnte man die Haltung von der Bevölkerung in ärmeren Staaten psychologisch gesehen schon verstehen: Sie haben keine Kenntnisse und glauben, dass mehrere Kinder eine bessere Zukunft gewährleisten, beziehungsweise die Versorgung im Alter besser sicherstellen. Oft spielt dabei die Religion eine dazu verstärkende Rolle.

Was ist aber mit den Wirtschaftswissenschaftlern? Die notwendigen Mathematikkenntnisse haben diese Personen mit Sicherheit. Dummheit nach dem berühmten Spruch von Einstein mag man ihnen grundsätzlich nicht gleich unterstellen wollen. Trotzdem behaupten sie, dass ein unendliches wirtschaftliches Wachstum (was mit Sicherheit auch ein unendliches Wachstum zum Beispiel des Energieverbrauchs und der Ressourcen voraussetzt) für das Überleben der Wirtschaft notwendig sei!

Die logische Schlußfolgerung ist daher, dass aus der nicht verfügbaren Unendlichkeit ein zwangsläufiges Scheitern dieser Wirtschaftsstrategie folgen muss, also kein Überleben möglich ist. Die Folgen für die Bevölkerung zu bedenken, bleibt den LeserInnen überlassen ...

Zurück zum mathematischen Problem, dazu eine Methode, die nicht funktioniert, also ein falscher Weg:

Viele versuchen, diese Aufgabe so zu lösen, indem sie 2,5% mit 50 multiplizieren, also 50 mal miteinander addieren. Kommen wir so zum selben Ergebnis?

50⋅2,5%=125%,     100%+125%=225%=2,25,     750 Millionen ⋅ 2,25=1687,5 Millionen.

Das ist allerdings falsch!

Der Fehler liegt darin, dass man 2,5% immer auf die Bevölkerung von 1966 bezieht. Die Bevölkerung aber wächst jedoch jedes Jahr um 2,5% in Bezug auf das vorherige Jahr und nicht auf 1966. Daher muss man jedes Mal mit 1,025 und nicht einmal mit 2,25 multiplizieren. Die Rechnung ist mal 1,025 hoch 50 und nicht mal 50, was ein ziemlich unterschiedliches Ergebnis bedeutet.

Zerfall

Radioaktivität

Zerfall ist das Gegenteil von Wachstum. Zerfall liegt vor, wenn jede Periode (Jahr, Monat und so weiter) die vorhandene Menge um den gleichen Prozentsatz weniger wird. Ein geeignetes Beispiel dafür ist die Radioaktivität:

• Das Iod-Isotop ¹³¹I (wird in nuklear-medizinischen Therapie benutzt) wird täglich um 8,3% weniger. Wie viele Atome des Isotops bleiben nach 3 Wochen, wenn wir am Anfang 250000 Atome haben?

Wir können hier sofort die Formel des vorherigen Absatzes benutzen [E = A · (1+P:100)ⁿ], indem wir berücksichtigen, dass wir einen Zerfall und kein Wachstum haben, also die Atome werden weniger statt mehr. Wir müssen daher minus statt plus benutzen:

$\textstyle E=A\cdot (1-P:100)^{n}=250000{\text{ Atome}}\cdot \left(1-{\frac {8,3}{100}}\right)^{21}=$

$=250000\cdot \left({\frac {91,7}{100}}\right)^{21}=250000\cdot 0{,}917^{21}\approx 40522{\text{ Atome}}\quad$

(hier müssen wir auf eine ganze Zahl runden; warum denn? Die Hochzahl allerdings ist 21 und nicht 3; wieso?)

Bei der Radioaktivität gibt es eine für das jeweilige Isotop charakteristische Periode, die sogenannte „Halbwertszeit“. Das ist die Zeit, die notwendig ist, damit die Anzahl der radioaktiven Atome sich halbiert, also auf 50% abnimmt, daher der Name. Bei ¹³¹I ist diese Zeit 8 Tage. Bei Atomen, die in Kernkraftwerken benutzt werden, ist diese Zeit deutlich größer (zum Beispiel 4,5 Milliarden Jahren für ²³⁸U Uran). So entsteht radioaktiver Müll, mit dem nicht einfach umzugehen ist. Dieser Müll kann kaum mit technisch oder kommerziell vertretbarem Aufwand entsorgt werde. Oft wird er illegal auf Gefahr der Gesundheit der Bevölkerung entsorgt. Das und die Gefahr eines Unfalls (wie z.B. neulich in Fukushima), machen die Nutzung der Kernspaltung sehr gefährlich. Interessant ist dabei allerdings, dass ein einwandfrei funktionierendes Kernkraftwerk allein durch den Betrieb keine Radioaktivität nach außen freisetzt, das passiert erst bei entsprechenden Pannen.

Kohle enthält ebenfalls radioaktive Atome als unerwünschte Beigabe, wie übrigens praktisch jegliches Material, welches durch Bergbau gefördert wird. Mit der Abluft von Kohlekraftwerken wird durch den reinen Betrieb also mehr Radioaktivität in der Umwelt freigesetzt als durch ein Kernkraftwerk gleicher Leistung. Das Kohlekraftwerk produziert allerdings keinen zusätzlichen radioaktiven Müll und setzt keine zusätzliche Radioaktivität bei einer Panne frei.

Zinseszins

Wachstumsprozesse sind auch für das Banksystem sehr relevant. Das Guthaben in einem Konto wächst jährlich um den Zinssatz.

Wenn man kein Geld aufhebt oder einzahlt, kann man das Guthaben nach beliebigen Jahren mit Hilfe der Formel [E_n = A ∙ (1+P:100)ⁿ] berechnen.

(A ist hier das Kapital am Anfang, E das Guthaben nach n Jahren, P der Zinssatz)

• Berechne das Guthaben in einem Konto nach 20 Jahren, wenn das Kapital am Anfang 100000€ ist und der effektive Zinssatz 0,45%. Wie groß sind die Zinsen Z?

E = A ⋅ (1+P:100)ⁿ = 100000€ ⋅ (1+0,45:100)²⁰ ≈ 109395,34€    

(Warum muss man hier auf 2 Nachkommastellen runden?)

Die Zinsen kann man dann leicht berechnen: Z=E − A=109395,34€ − 100000€ = 9395,34€

Die Bank benutzt unseres Geld, um Geld zu investieren, zum Beispiel, um Geld anderen auszuleihen. Die Bank aber verlangt einen viel höheren Kreditzinssatz als den Zinssatz, den sie für unseres Geld im Konto gibt.

• Berechne, wie viel Geld eine Bank nach 20 Jahren gewinnt, wenn sie 100000€ mit 2,5% Zinssatz ausleiht.

E = A ⋅ (1+P:100)ⁿ = 100000€ ⋅ (1+2,5:100)²⁰ ≈163861,64€

Der Gewinn für die Bank ist daher: 163861,64€ − 100000€ ≈ 63861,64€ Das ist eindeutig viel mehr, als das Geld, das die Bank dem Kontoinhaber zurückgibt! Das reicht aber doch nicht aus! Banken dürfen mit unserem Geld mehrere Kredite vergeben. Quasi schöpfen sie so fiktives Geld mit jedem bereitgestellten Kredit. Sie dürfen, sagen wir mal, zehn Kredite vergeben. Sofern die Kreditgeber alles samt Zinsen zurückzahlen, ist der reine Gewinn für die Bank:

10 ⋅ 63861,64€ − 9395,34€ ≈ 629221,10€

Natürlich können Kredite ausfallen, werden also nicht zurückgezahlt. Ein solcher Ausfall ist zunächst einmal das Risiko der Bank. Zudem hat die Bank die Angestellten und die Infrastruktur (Bankgebäude, Computersysteme etc) zu finanzieren.

Ein Kommentar noch finde ich hier allerdings notwendig:

Diesen nicht gerade kleinen Gewinn rechtfertigen die Banken durch das genannte Risiko, das sie beim Ausleihen übernehmen. Je höher das Risiko des Kredits, desto höher der Kredit-Zinssatz.

Das Risiko wird aber schon dadurch reduziert, dass mehr Kredite vergeben werden, als Geld angelegt wurde. Die Tatsache, dass die Banken bei der letzten Finanzkrise doch Geld vom Steuerzahler bekommen haben, um einen Bankrott abzuwenden, ohne die geringste Forderung, das Geld zurückzugeben, zeigt eindeutig, dass sie das Risiko dem Staat übertragen haben, als etwas schief gegangen ist. Dass etwas schief geht, wird allerdings bei der angedeuteten Geldschöpfung durch Banken immer wieder der Fall sein wird.

Exponentialfunktion und Logarithmus

Exponentialfunktion

Vergleichen wir folgende Aufgaben und ihre Lösungen:

• China hatte im Jahr 1966 eine Bevölkerungsgröße von circa 750 Millionen Menschen. Das jährliche Wachstum lag bei circa 2,5%. Wie groß wäre die Bevölkerung im Jahr 2016, wenn das Wachstum gleich geblieben wäre? Was wären die Ergebnisse eines solchen Wachstums?

  Lösung: $100\%+2{,}5\%=102{,}5\%={\tfrac {102{,}5}{100}}=1{,}025$
  $x_{50}=750\cdot 1{,}025^{50}{\text{ Millionen}}\approx 2577{,}83\ {\text{ Millionen}}$.

• Das Iod-Isotop ¹³¹I (wird in nuklear-medizinischen Therapie benutzt) wird täglich um 8,3% weniger. Wie viele Atome des Isotops bleiben nach 3 Wochen, wenn wir am Anfang 250000 Atome haben?

  Lösung: $100\%-8{,}3\%=91{,}7\%={\tfrac {91{,}7}{100}}=0{,}917\qquad$
  3 Wochen sind 21 Tage
  $x_{21}=250000\cdot 0{,}917^{21}\approx 40522{\text{ Atome}}\quad$

Um die Aufgabe zu lösen haben wir in beiden Fällen den Prozentsatz benutzt. Am Anfang ist er immer 100%. Beim Wachstum addieren wir den Wachstumsprozentsatz $(100\%+2{,}5\%=102{,}5\%),\$bei einer Abnahme subtrahieren wir ihn $(100\%-8{,}3\%=91{,}7\%).\$Das Ergebnis als Zahl (und nicht als Prozentsatz, also durch 100) wird dann als Basis einer Potenz benutzt. Die Hochzahl zeigt uns, wie oft der Prozess sich wiederholt. Die Potenzzahl wird mit dem Anfangswert multipliziert (750 Millionen bzw 250000):

$x_{n}={\underset {\binom {Wert\ am}{Anfang}}{250000}}\cdot {\underset {(Prozent)}{0{,}917}}^{n\quad \leftarrow ({\text{Anzahl der Wiederholungen, z.B. der Jahre}})}$

Diese Art von Zusammenhang nennen wir in Mathematik Exponentialfunktion. Eine allgemeine Schriftweise dafür ist:

$N(t)=N_{0}\cdot a^{t}$

Hier wird $N_{0}\$der Anfangswert genannt, $a$ der Prozentsatz als Zahl (Basis der Potenzzahl) und $t$ (statt x) die Anzahl der Wiederholungen. Die Anzahl der Wiederholungen kann irgendeine Zahl und muss nicht eine Runde Zahl sein (wie in den Beispielen).

Hier beschränken wir uns auf eine Exponentialfunktion, deren Anfangswert $(N_{0})\$eine nicht negative Zahl ist. Die Basis der Potenzzahl $(a)$ ist auch positiv. Der Unterschied zwischen Wachstum und Abnahme liegt an den Werten von $a$. Ist es mehr als 1, dann haben wir ein Wachstumsprozess, liegt es zwischen 0 und 1, haben wir eine Abnahme.

Anmerkungen

Zusammenhang Exponentialfunktion und Logarithmus

Wenn wir Voraussagen über die Bevölkerung in einem Staat machen wollen, benutzen wir eine sogenannte Exponentialfunktion. Nehmen wir beispielsweise an, dass die Bevölkerung in einem Staat mit 30 Millionen EinwohnerInnen um 2% jedes Jahr wächst. Das bedeutet, dass jedes Jahr die Bevölkerung 102% der Bevölkerung des vorherigen Jahres sein wird, also das 1,02-fache. Um die Bevölkerung $B_{x}$nach $x$ Jahren zu berechnen, müssen wir daher die Bevölkerung am Anfang $B_{0}$ mit 1,02 $x$ mal multiplizieren:

$B_{x}=B_{0}\cdot 1{,}02^{x}$

Im konkreten Beispiel wäre das dann nach 20 Jahren:

$B_{20}=30\cdot 1{,}02^{20}\approx 44{,}6\$(Millionen Menschen)

In dieser Funktion wird die Bevölkerung (in Millionen Personen) in Bezug auf die Zeit (in Jahren) ausgedrückt. Die Zeit (hier mit dem Symbol x dargestellt) ist die unabhängige Variable.

Was ist aber, wenn wir die Frage umkehren wollen? Wie können wir berechnen, nach wie vielen Jahren die Bevölkerung mit diesem Wachstum 100 Millionen sein wird? Wir sollen in diesem Fall eine Gegenrechnung benutzen. Die Gegenrechnung von minus ist plus, von mal durch und von hoch die entsprechende Wurzel. Die zwei ersten Paare können wir als Möglichkeit hier schon ausschließen. Kommt die Wurzel als Möglichkeit vor? Für Wurzel und Potenzzahl gilt:

${\sqrt[{n}]{x}}=a\Rightarrow x=a^{n}$

Probieren wir das in unserem Beispiel. Wir wollen berechnen, nach wie vielen Jahren ($x$) die Bevölkerung ($B_{x}$) 100 Millionen sein wird. Hier ist also nicht die Zeit x angegeben, sondern die Bevölkerung $B_{x}\$(=100 Millionen). Die Bevölkerung am Anfang $B_{0}\$bleibt immer noch 30 Millionen:

$B_{x}=B_{0}\cdot 1{,}02^{x}\ \Rightarrow \ 100=30\cdot 1{,}02^{x}\ \Rightarrow \ {\frac {100}{30}}=1{,}02^{x}\ \Rightarrow \ {\sqrt[{x}]{\frac {100}{30}}}=1{,}02$

Was können wir jetzt tun? Können wir x berechnen? Die Antwort ist nein. x steht als Wurzelpotenz. Wir können es nicht berechnen. Wir brauchen eine neue Gegenrechnung. Was ist hier der Unterschied zu den Potenzfunktion? Die unabhängige Variable ist nicht mehr die Basis, wie bei der Potenzfunktion $f(x)=x^{n}$. Wenn die unabhängige Variable als Hochzahl in der Funktion vorkommt, dann ist die Gegenrechnung der entsprechende sogenannte Logarithmus. In unserem Beispiel:

$1{,}02^{x}={\frac {100}{30}}\ \Rightarrow \ x=\log _{1{,}02}{\frac {100}{30}}\approx 60{,}80\$(Jahren)

Das bedeutet: Mit diesem Wachstum (2%) wird die Bevölkerung nach fast 61 Jahren 100 Millionen sein. Man sagt: „x ist der Logarithmus von $\textstyle \ {\frac {100}{30}}\$ zur Basis 1,02“. Der Logarithmus zu einer Basis b ist daher die Gegenrechnung der Potenzzahl mit gleicher Basis b und Hochzahl die Variable.

$b^{x}=a\Rightarrow x=\log _{b}a$

Für zwei Zahlen als Basis eines Logarithmus gibt es in der mathematischen Gesellschaft entsprechende Schreibweisekonventionen.

• Wenn die Basis 10 ist schreiben wir einfach $\ \lg \$ohne Basis. Also, wenn einfach $\ \lg \$ da steht, dann ist als Basis 10 gemeint.
  $10^{x}=a\Rightarrow x=\lg a\qquad (=\log _{10}a)$
  Dieser wird Zehner- oder Dekadischer Logarithmus genannt. Bei Taschenrechnern wird dafür nicht das Symbol $\lg \$oder $\log _{10}\$sondern einfach $\log \$ohne Basis benutzt. Das Symbol $\log \$bedeutet also bei Taschenrechnern den Zehnerlogarithmus.
• Es gibt dazu eine ganz besondere Zahl, die sogenannte eulersche Zahl $e$. $e$ gehört zu den berühmtesten mathematischen Konstanten, wie die Kreiszahl π. Die Kreiszahl π wird als das Verhältnis (der Bruch) des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser. π ist ungefähr (aber nicht genau...) 3,14… . Die Definition für die Zahl e ist nicht so leicht und wird an dieser Stelle nicht erklärt. Es reicht zu wissen, dass e eine besondere Zahl und ungefähr gleich 2,718… ist. Wenn jetzt e die Basis einer Potenz ist, dann schreiben wir für die Gegenrechnung $\ \ln \$anstatt $\ \log _{e}$:
  $e^{x}=a\Rightarrow x=\ln a\qquad (=\log _{e}a)$
  Dieser wird natürliche (viel seltener "napiersche") Logarithmus genannt.

Lambda

$\mathbf {a^{x}=e^{\lambda \,x}} \quad \Leftrightarrow \quad \mathbf {a^{x}=\left(e^{\lambda }\right)^{x}} \quad \Leftrightarrow \quad \mathbf {a=e^{\lambda }} \quad \Leftrightarrow \quad$$\mathbf {\ln a=\ln e^{\lambda }} \quad \Leftrightarrow \quad \mathbf {\ln a=\lambda \,\ln e} \quad \Leftrightarrow \quad \mathbf {\lambda =\ln a}$

Logarithmus Textaufgaben

Arbeiten mit Logarithmen

Rechenregeln zwischen Logarithmen

Es gibt ein paar Rechenregeln für Logarithmen.

$\log _{a}{a}=1,\quad \ln {e}=1,\quad \lg {10}=1$ $\log _{b}a^{n}=n\,\log _{b}a$ $\ln {a^{n}}=n\,{\ln a}\qquad \lg {a^{n}}=n\,{\lg a}$ $\log _{a}1=0$ $\ln {(a\cdot b)}=\ln a+\ln b$ $\ln {\frac {a}{b}}=\ln a-\ln b$ $\log _{b}a={\frac {\log _{c}a}{\log _{c}b}}$

Hier ein paar Beispiele der Anwendung dieser Regeln:

• Zerlegen Sie folgende Ausdrücke unter Verwendung der Logarithmusregeln in den möglichst einfachsten Logarithmanden.

1. $\log _{b}\left(a^{3}{\frac {b+c}{b^{m}}}\right)^{v}$
   
   Da der ganze Numerus mit einer Hochzahl $(v)$versehen ist, können wir die zweite Regel benutzen:
   $\log _{b}\left(a^{3}{\frac {b+c}{b^{m}}}\right)^{v}=v\log _{b}\left(a^{3}{\frac {b+c}{b^{m}}}\right)$
   Für das, was noch in Klammern bleibt, können wir die vierte und die fünfte Regel benutzen: $\log _{b}\left(a^{3}{\frac {b+c}{b^{m}}}\right)=\log _{b}a^{3}+\log _{b}(b+c)-\log _{b}{b^{m}}$
   Im ersten und im dritten Summand haben wir wieder eine Hochzahl, wir können wieder die zweite Regel benutzen:
   $\log _{b}a^{3}+\log _{b}(b+c)-\log _{b}{b^{m}}=3\log _{b}a+\log _{b}(b+c)-m\log _{b}b$
   Wenn der Numerus eine Summe ist $(b+c)$, können wir nichts machen, allerdings ist nach der ersten Regel $\log _{b}b=1$, daher ist das Ergebnis insgesamt:
   $\log _{b}\left(a^{3}{\frac {b+c}{b^{m}}}\right)^{v}=v\log _{b}\left(a^{3}{\frac {b+c}{b^{m}}}\right)=v(3\log _{b}a+\log _{b}(b+c)-m)$.
   
   
2. $\log _{5}\left({\frac {0{,}04}{{\sqrt[{3}]{d^{5}\cdot 5^{d}\cdot 5^{5}}}\ \ }}\cdot 125{\sqrt[{5}]{5}}\right)$
   
   Benutzen wir die vierte und die fünfte Regel um die Produkte bzw. den Bruch zu zerlegen:
   $\log _{5}\left({\frac {0{,}04}{{\sqrt[{3}]{d^{5}\cdot 5^{d}\cdot 5^{5}}}\ \ }}\cdot 125{\sqrt[{5}]{5}}\right)=\log _{5}0{,}04-\log _{5}{\sqrt[{3}]{d^{5}\cdot 5^{d}\cdot 5^{5}}}+\log _{5}125+\log _{5}{\sqrt[{5}]{5}}$
   Der Numerus des ersten Summanden ist eine Potenz von 5: $0{,}04={\tfrac {1}{25}}=5^{-2}$. Die Wurzel im Numerus des zweiten und des letzten Summanden kann man als Hochzahl schreiben:${\sqrt[{3}]{d^{5}\cdot 5^{d}\cdot 5^{5}}}=\left(d^{5}\cdot 5^{d}\cdot 5^{5}\right)^{\tfrac {1}{3}}$ und ${\sqrt[{5}]{5}}=5^{\tfrac {1}{5}}$. Daher:
   $\log _{5}0{,}04-\log _{5}{\sqrt[{3}]{d^{5}\cdot 5^{d}\cdot 5^{5}}}+\log _{5}125+\log _{5}{\sqrt[{5}]{5}}=$$\log _{5}5^{-2}-\log _{5}\left(d^{5}\cdot 5^{d}\cdot 5^{5}\right)^{\tfrac {1}{3}}+\log _{5}5^{3}+\log _{5}5^{\tfrac {1}{5}}$
   Unter Anwendung der zweiten und der ersten Regel bekommen wir dann:
   $\log _{5}5^{-2}-\log _{5}\left(d^{5}\cdot 5^{d}\cdot 5^{5}\right)^{\tfrac {1}{3}}+\log _{5}5^{3}+\log _{5}5^{\tfrac {1}{5}}=$${-2}-{\tfrac {1}{3}}\log _{5}\left(d^{5}\cdot 5^{d}\cdot 5^{5}\right)+3+{\tfrac {1}{5}}$
   Mit Anwendung der vierten und der zweiten Regel und Zusammenrechnen bekommen wir schließlich:
   ${-2}-{\tfrac {1}{3}}\log _{5}\left(d^{5}\cdot 5^{d}\cdot 5^{5}\right)+3+{\tfrac {1}{5}}=$$-{\tfrac {1}{3}}\left(5\log _{5}d+d\log _{5}5+5\log _{5}5\right)+1+{\tfrac {1}{5}}=$$-{\tfrac {1}{3}}\left(5\log _{5}d+d\right)-{\tfrac {5}{3}}+1+{\tfrac {1}{5}}=-{\tfrac {1}{3}}\left(5\log _{5}d+d\right)-{\tfrac {7}{15}}$
   
   

• Fassen Sie folgenden Ausdruck unter Verwendung der Logarithmusregeln in einen Logarithmanden.

1. $4\ln c-d\ln 6+5$
   Nach der ersten Regel ist $5=5\ln e$ und nach der zweiten $4\ln c=\ln c^{4}$, $d\ln 6=\ln 6^{d}$ und $5\ln e=\ln e^{5}$. Mit Anwendung der vierten und fünften Regel bekommen wir schließlich;
   $4\ln c-d\ln 6+5=\ln c^{4}-\ln 6^{d}+\ln e^{5}=\ln {\frac {c^{4}\cdot e^{5}}{6^{d}}}$

Beweise der Rechenregeln zwischen Logarithmen

Wenn wir bei einem mathematischen Ausdruck eine Rechnung und ihre Gegenrechnung oder eine Funktion und ihre Umkehrfunktion anwenden, bleibt der Ausdruck unverändert. Hier sind ein paar Beispiele:

$a+3-3=a\qquad b\cdot t:t=b\qquad ({\sqrt[{n}]{w\ }})^{n}=w\qquad {\sqrt[{n}]{w^{n}\ }}=w$

Der Logarithmus ist die Gegenfunktion der unabhängigen Variable als "Hochzahl", genauer gesagt, der Exponentialfunktion:

$e^{a}=b\Leftrightarrow a=\ln b$ (hier für den natürlichen Logarithmus)

Wenn wir also gleichzeitig Funktion und Umkehrfunktion anwenden, dann bleibt der Ausdruck unverändert. Ersetzen wir also in den letzten Ausdrucken $a$ durch $\ln b$ bzw. $b$ durch $e^{a}$:

$e^{\ln b}=b\qquad a=\ln {e^{a}}\quad$also $\ln {e^{a}}=a$

Setzten wir in der letzten Gleichung $a=1$:

$\ln {e^{1}}=1\quad$also $\ln {e}=1\quad$oder $\log _{e}{e}=1$

Allgemeiner bedeutet das:

Der Logarithmus seiner Basis ist 1:$\qquad \log _{a}{a}=1$

Gehen wir zurück zur vorherigen Formel und Benutzen wir letzteres Ergebnis:

$\ln {e^{a}}=a\Rightarrow \ln {e^{a}}=a\cdot 1\Rightarrow \ln {e^{a}}=a\cdot {\overset {(=1)}{\ln e}}$

Der Logarithmus einer Potenzzahl ist die Hochzahl dieser Potenzzahl mal den Logarithmus ihrer Basis:

$\log _{b}a^{n}=n\,\log _{b}a\qquad \ln {a^{n}}=n\,{\ln a}\qquad \lg {a^{n}}=n\,{\lg a}$

Beweis.

Laut Definition des Logarithmus:

$b^{h}=p\Leftrightarrow h=\log _{b}p$

(b für Basis, p für Potenzzahl, h für Hochzahl)

Da $p=b^{h}$ ist, können wir $p$ in der Gleichung $h=\log _{b}p$ dadurch ersetzten:

$\log _{b}b^{h}=h$

Mit anderen Symbolen:

$\log _{w}w^{A}=A$

Es gilt:

$a^{b}=(a)^{b}=\left(w^{\log _{w}a}\right)^{b}=w^{b\ \log _{w}a}\Rightarrow$
$\log _{w}a^{b}=\log _{w}w^{b\ \log _{w}a}\Rightarrow \log _{w}a^{b}={b\ \log _{w}a}$

Mit Hilfe der Definition des Logarithmus können wir auch leicht zeigen, dass der Logarithmus von Null gleich 1 ist (für jede Basis):

$a^{0}=1\Rightarrow \log _{a}1=0$

Der Logarithmus hat irgendwas mit den Hochzahlen zu tun. Wenn wir zwei Potenzzahlen mit der gleichen Basis multiplizieren, dann ist das Ergebnis eine neue Potenzzahl mit der gleichen Basis und Hochzahl die Summer der Hochzahlen: $a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$. Mit dieser Tatsache hat die nächste Regel für Logarithmen zu tun:

Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen der Faktoren:

$\ln {(a\cdot b)}=\ln a+\ln b$

Beweis. Es gilt:

$e^{\ln a+\ln b}=e^{\ln a}\cdot e^{\ln b}=a\cdot b=e^{\ln {(a\cdot b)}}\Rightarrow \ln a+\ln b=\ln {(a\cdot b)}$

Entsprechend gilt die Regel für die Division:

Der Logarithmus eines Quotients ist die Differenz der Logarithmen des Zählers und des Nenners:

$\ln {\frac {a}{b}}=\ln a-\ln b$

Beweis. Es gilt:

$e^{\ln a-\ln b}=e^{\ln a}\cdot e^{-\ln b}={\frac {e^{\ln a}}{e^{\ln b}}}={\frac {a}{b}}=e^{\ln {({\frac {a}{b}})}}\Rightarrow \ln a-\ln b=\ln {({\frac {a}{b}})}$

Für eine Basisänderung des Logarithmus gilt:

$\log _{b}a={\frac {\log _{c}a}{\log _{c}b}}$

Beweis: Es gilt:

$a=a\quad \Rightarrow b^{\log _{b}a}=c^{\log _{c}a}\quad \Rightarrow \left(c^{\log _{c}b}\right)^{\log _{b}a}=c^{\log _{c}a}$

$\Rightarrow c^{{\log _{c}b}\cdot {\log _{b}a}}=c^{\log _{c}a}\quad \Rightarrow {\log _{b}a}\cdot {\log _{c}b}={\log _{c}a}\quad$

$\Rightarrow \quad {\log _{b}a}={\frac {\log _{c}a}{\log _{c}b}}$

Exponentialfunktion Diagramm

Die Exponentialfunktion $\exp(x)=e^{x}$ ist streng monoton steigend und ihre Werte sind nur positiv. Sie schneidet die y-Achse bei $y=1$ ab (y-Achsenabschnitt). In die linke Richtung wird sie ziemlich schnell fast parallel zur x-Achse und nährt sie verschwindend an (man sagt: die x-Achse ist eine Asymtpote der Funktion), in die rechte wächst sie extrem schnell:

Hier werden wir erkunden, wie sich das Diagramm der allgemeinen Exponentialfunktion ändert, wenn wir sogenannten Parameter der Grundfunktion modifizieren:

$E(x)=ae^{bx}+c$

Die Parameter a und c haben mit dem y-Achsenabschnitt zu tun. Dieser ist der Wert der Funktion an der Stelle Null:

$E(0)=ae^{b0}+c=ae^{0}+c=a\cdot 1+c=a+c$

Der y-Achsenabschnitt der allgemeinen Exponentialfunktion ist die Summe der Parameter a und c.

Den Parameter c können wir von zwei Merkmale sofort erkennen:

Die Funktion wird durch den Parameter c nach oben (c positiv) oder nach unten (c negativ) verschoben. Daher nähert die Funktion nicht die x-Achse selber an, sondern eine Achse die parallel zur x-Achse ist. Im ersten Bild sehen wir die rote Funktion um 1 nach oben verschoben und die blaue um 1 nach unten (also um −1 verschoben). Daher ist c in der roten 1 (Asymptote: y=1) und in der blauen −1 (Asymptote: y=−1). Im zweiten Bild sehen wir genauer die Verschiebung.

Den Parameter a können wir dann erst herausfinden, wenn wir den Parameter c schon kennen. Wir können dann indirekt mit Hilfe des y-Achsenabschnitts den Parameter a berechnen:

Im ersten Bild sehen wir die Funktionen $E_{1}(x)=2e^{x}$ (rot) und $\textstyle E_{2}(x)={\frac {1}{2}}e^{x}$ (blau). Hier sind die c Parameter null. Der y-Achsenabschnitt ist in beiden Fällen genau soviel wie der Parameter a, da der Parameter c null ist. Das ist nicht der Fall im zweiten Bild (nur eine rote Funktion). Hier können wir sehen, dass die Asymptote $y=-1{,}4$ ist. Der y-Achsenabschnitt E(0) ist $0{,}4$. Wir können somit a berechnen:

$E(0)=a+c\Rightarrow a=E(0)-c\Rightarrow a=0{,}4-(-1{,}4)=1{,}8$

Da hier b eins ist, lautet die Funktion: $E(x)=1{,}8e^{x}-1{,}4$

Wenn der Parameter a positiv ist, dann liegen alle Werte der Funktion oberhalb der Asymptote $y=c$. Das macht Sinn, da eine Potenzzahl $z^{r}$ immer positiv ist, wenn die Basis (hier z) positiv ist, egal was die Hochzahl (hier r) ist. Wenn aber a negativ ist, dann liegen alle Werte unterhalb der Asymptote, wie in den Bildern hier:

Im ersten Bild sehen wir die Funktionen $E_{3}(x)=-1{,}6e^{x}$ (rot) und $\textstyle E_{4}(x)=-{\frac {5}{8}}e^{x}$ (blau). Hier sind die c Parameter null. Der y-Achsenabschnitt ist in beiden Fällen genau soviel wie der Parameter a, da der Parameter c null ist. Das ist nicht der Fall im zweiten Bild (nur eine rote Funktion). Hier können wir sehen, dass die Asymptote $y=1{,}8$ ist. Der y-Achsenabschnitt E(0) ist $y=1{,}4$. Wir können somit a berechnen:

$E(0)=a+c\Rightarrow a=E(0)-c\Rightarrow a=1{,}4-1{,}8=-0{,}4$

Da hier der Parameter b eins ist, lautet die Funktion: $E(x)=-0{,}4e^{x}+1{,}8$

Der Parameter b zeigt uns quasi wie "breit" die Funktion ist:

Im ersten Bild sehen wir die Funktionen $E_{5}(x)=e^{2x}$ (rot) und $\textstyle E_{4}(x)=e^{\frac {x}{2}}$ (blau). Hier sind die c Parameter null und a eins. Der y-Achsenabschnitt ist in beiden Fällen eins. Die rote Funktion ist abrupter als die blaue. Wenn der Parameter b negativ ist, werden diese Funktionen auf der y-Achse gespiegelt, wie im zweiten Bild.

Um den Parameter b zu berechnen, sollen die Parameter a und c schon bekannt sein. Nehmen wir ein Beispiel, wo wir c und a leicht berechnet können: $E(x)=-e^{bx}+1{,}6$ $({\text{erstes Bild}},c=1{,}6,\ a=-1).$ In diesem Bild können wir den Punkt $(-1|1)$ ziemlich genau ablesen. Wenn wir diese Werte in die Funktion einsetzen, können wir auch den Parameter b durch Umformen berechnen:

$E(x)=-e^{bx}+1{,}6\$ Punkt $(-1|1)$ also $x=-1,\ E(x)=1$

$1=-e^{b\cdot (-1)}+1{,}6$

$-0{,}6=-e^{b\cdot (-1)}$

$e^{-b}=0{,}6$

$\ln e^{-b}=\ln 0{,}6$

$b=-\ln 0{,}6$

$b\approx 0{,}51$

$E(x)=-e^{0{,}5x}+1{,}6\$