Ing Mathematik: Linienintegrale

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Linienintegrale (auch Kurvenintegrale genannt) werden in der Literatur unterschiedlich eingeführt. So unterscheidet Wikipedia ( Kurvenintegral) zwischen Kurvenintegral 1. und 2. Art. Auch Bronstein et al.: Taschenbuch der Mathematik; 7. Aufl., Harri Deutsch, 2008 kennt Kurvenintegrale 1. und 2. Art, sowie zusätzlich Kurvenintegrale allgemeiner Art. In Schark, Overhagen: Mathematik - Ein Lehr- und Übungsbuch, Band 4, 2. Aufl., Harri Deutsch, 2008 findet sich die Unterscheidung zwischen orientiertem und nichtorientiertem Kurvenintegral. Burg, Haf, Wille, Meister: Vektoranalysis; 2. Aufl., Springer, 2012 führen gleich 5 verschiedene Kurvenintegrale ein (skalare Kurvenintegrale über einem Skalarfeld und über einem Vektorfeld, sowie vektorielle Kurvenintegrale).

Ein orientiertes Kurvenintegral (lt. Wikipedia ein Kurvenintegral 2. Art) ist

$\int _{C}\mathbf {V} \mathrm {d} \mathbf {r} =\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {V} {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\mathrm {d} t=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {V} \mathbf {\dot {r}} \mathrm {d} t$

Ein nichtorientiertes Kurvenintegral (lt. Wikipedia ein Kurvenintegral 1. Art) ist

$\int _{C}\mathbf {\phi } \mathrm {d} s=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\phi {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\mathrm {d} t=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\phi \left|{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right|\mathrm {d} t=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\phi |\mathbf {\dot {r}} |\mathrm {d} t$

• 
  orientiertes Kurvenintegral
• 
  nichtorientiertes Kurvenintegral

Für geschlossene Kurven $C$ schreibt man auch $\int _{C}=\oint _{C}$.

Beispiel: In Burg, Haf, Wille, Meister: Vektoranalysis findet sich auf Seite 93 folgende Aufgabe, aber (leider) keine Lösung. Der Lösungsweg soll deshalb hier gezeigt werden. Gegeben ist

$\int _{K}(x_{1}^{2}x_{2}\mathrm {d} x_{1}+(x_{1}-x_{2}x_{1})\mathrm {d} x_{2});\;K:x_{1}=4t,\;x_{2}=3t;\;(0\leq t\leq 1)$

Lösung:

$\mathrm {d} x_{1}=4\mathrm {d} t;\;\mathrm {d} x_{2}=3\mathrm {d} t$

$\mathbf {r} ={\begin{bmatrix}4t\\3t\end{bmatrix}};\;\mathbf {\dot {r}} ={\begin{bmatrix}4\\3\end{bmatrix}}$

$|\mathbf {\dot {r}} |={\sqrt {4^{2}+3^{2}}}=5$

$\int _{0}^{1}(16t^{2}\cdot 3t\cdot 5\cdot 4+(4t-3t\cdot 4t)\cdot 5\cdot 3)\mathrm {d} t=\left[960{\frac {t^{4}}{4}}+60{\frac {t^{2}}{2}}-180{\frac {t^{3}}{3}}\right]_{0}^{1}=210$

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