Ing Mathematik: Raumkurven

Tangentenvektor, Bogenlänge

Der Tangentenvektor lässt sich folgendermaßen berechnen:

$\mathbf {T} ={\frac {\mathbf {\dot {r}} }{|\mathbf {\dot {r}} |}}={\frac {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}{\left|{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right|}}={\frac {{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} s}}{\cancel {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}}}{\cancel {\left|{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right|}}}=\mathbf {r} '$

Dass wir in dieser Gleichung die beiden Terme kürzen können, lässt sich so einsehen:

$\left|{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right|=\left|{\begin{bmatrix}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\\{\dot {z}}\end{bmatrix}}\right|={\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}={\dot {s}}={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}$

Aus dieser Gleichung folgt auch direkt die Bogenlänge:

$s=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}\mathrm {d} t$

Hauptnormalenvektor, Krümmung

Es gilt der folgender Satz: Die Ableitung eines Vektors steht immer senkrecht auf den Vektor selbst. Das lässt sich so zeigen:

$\mathbf {e} \cdot \mathbf {e} =\underbrace {|\mathbf {e} |} _{\text{konst.}}\underbrace {|\mathbf {e} |} _{\text{konst.}}\underbrace {\cos 0} _{1}={\text{konst.}}$

Ableitung:

$\mathbf {e} '\cdot \mathbf {e} +\mathbf {e} \cdot \mathbf {e} '=2\mathbf {e} '\cdot \mathbf {e} =0$

D.h. aber $\mathbf {e} '\bot \mathbf {e}$

Somit gilt auch für den Hauptnormalenvektor, der ja senkrecht auf den Tangentenvektor steht:

$\mathbf {N} ={\frac {\mathbf {T} '}{|\mathbf {T} '|}}={\frac {\mathbf {r} ''}{|\mathbf {r} ''|}}={\frac {\mathbf {r} ''}{\kappa }}$

$\kappa =|\mathbf {r} ''|$ nennt man die Krümmung. $\rho =1/\kappa$ ist der Krümmungsradius. Im räumlichen Fall ist $\kappa$ immer größer gleich 0. Es gibt hier also keine Unterscheidung von Links- und Rechtskurven.

Aus obiger Formel lässt sich $\mathbf {T} '=\kappa \mathbf {N}$ herleiten.

Binormalenvektor, Torsion

$\mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N}$

Die drei Vektoren $\mathbf {T} ,\;\mathbf {N} ,\;\mathbf {B}$ nennt man auch begleitendes Dreibein der Kurve.

Mit der Torsion $\tau$ gilt:

$\mathbf {B} '=-\tau \mathbf {N}$

Frenetsche Formeln

Jean Gaston Darboux (1842-1917) französischer Mathematiker
Jean Frédéric Frenet (1816-1900) französischer Mathematiker
Joseph Alfred Serret (1819-1885) französischer Mathematiker

Die frenetschen Formeln (auch serret-frenetsche Formeln genannt) ergeben sich aus

${\begin{pmatrix}\mathbf {T} '\\\mathbf {N} '\\\mathbf {B} '\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{pmatrix}}$

$\mathbf {D} =\tau \mathbf {T} +\kappa \mathbf {B}$ wird darbouxscher Drehvektor genannt.

Beispiel: Natürliche Koordinaten in der Kinematik

Die Geschwindigkeit ist definiert als (siehe Grafik)

$\mathbf {v} =v\mathbf {T}$

Die Beschleunigung errechnet sich zu

$\mathbf {a} =\mathbf {\dot {v}} ={\dot {v}}\mathbf {T} +v{\dot {\mathbf {T} }}$

Aus den frenetschen Formeln finden wir:

$\mathbf {T} '=\kappa \mathbf {N} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} s}}={\frac {\mathbf {\dot {T}} }{v}}\Rightarrow \mathbf {\dot {T}} =v\kappa \mathbf {N} ={\frac {v}{\rho }}\mathbf {N}$

und somit ist die Beschleunigung

$\mathbf {a} ={\dot {v}}\mathbf {T} +{\frac {v^{2}}{\rho }}\mathbf {N}$

Normalebene, Streckebene, Schmiegebene

Die Normalebene (N) steht senkrecht auf $\mathbf {T}$ . Sie wird von den beiden Normalen $\mathbf {N}$ und $\mathbf {B}$ aufgespannt.
Die Streckebene (R) steht senkrecht auf $\mathbf {N}$ . Sie wird von $\mathbf {B}$ und $\mathbf {T}$ aufgespannt.
Die Schmiegebene (S) steht senkrecht auf $\mathbf {B}$ . Sie wird von $\mathbf {T}$ und $\mathbf {N}$ aufgespannt.

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